八年级下册数学课时练答案
八年级下册数学课时练答案
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八年级下册数学课时练答案(一)
矩形的判定
【优效自主初探】
自主学习
(1)①证明：在□ABCD中，AB=CD.
因为AC= BD，BC=CB，
所以△ABC≌△DCB.
②在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
所以∠ABC+∠DCB=180°.
因为△ABC≌△DCB，
所以∠ABC=∠DCB，
所以∠ABC=90°.
③在平行四边形ABCD中，因为∠ABC=90°，
所以四边形ABCD是矩形.
(2)①90°
②平行
③是矩形，由矩形的定义可得.
归纳：矩形的判定方法。
(1)有一个角是直角的四边形是平行四边形 。
(2)对角线相等的四边形是平行四边形。
(3)有三个角是直角的四边形是矩形。
【高效合作交流】
[例1]思路探究：
(1)因为∠BAD=∠CAE，
所以∠BAD-∠BAC=∠CAE-∠BAC，
所以∠BAE=∠CAD.
又因为AE=AD.AB=AC，
所以△BAE≌△CA D.
(2)因为△BAE≌△CAD，
所以BE=CD.
又因为DE=BC，
所以四边形BCDE是平行四边形.
(3)因为△BAE≌△CAD，
所以∠BEA=∠CDA.
因为AE=AD，
所以∠AED=∠ADE.
所以∠BED=∠CDE.
证明：因为∠BAD=∠CAE，
所以∠BAD =BAC=∠CAE -∠BAC，
所以∠BAE=∠CAD.
因为AE=AD，AB=AC，
所以△BAE≌△CAD(SAS).
所以∠BEA=∠CDA，BE =CD.
又因为DE=BC，
所以四边形BCDE是平行四边形.
因为AE=AD，
所以∠AED=∠ADE.
因为∠BEA =∠CDA，
所以∠BED=∠CDE.
因为四边形BCDE是平行四边形，
所以BE∥CD，
所以∠BED+∠CDE= 180°，
所以∠BED =∠CDE=90°，
所以四边形BCDE是矩形.
[针对训练]1
(1)证明：因为BE⊥AC，DF⊥AC，
所以∠BEO-∠DF0=90°.
因为点O是EF的中点，
所以OE=OF.
又因为∠DOF=∠BOE，
所以△BOE≌△DOF (ASA).
(2)解：四边形ABCD是矩形，理由如下：
因为△BOE≌△DOF，
所以OB=OD.
又因为OA=OC，
所以四边形ABCD是平行四边形.
因为OA=1/2BD,OA=1/2AC，
所以BD=AC，
所以平行四边形ABCD是矩形.
[例2]思路探究：
(1)直角
(2)⊥
(3)因为AB=AC=5，BC=6，AD是BC的中线，
所以BD=DC==6×1/2=3，AD⊥BC.
在Rt△ACD中，
(1)证明：因为AB=AC，AD是BC边上的中线，
所以AD⊥3C，
所以∠ADB=90°，
因为四边形ADBE是平行四边形，
所以平行四边形ADBE是矩形.
(2)解：因为AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，
所以BD=DC=6×1/2=3.
在Rt△ACD中.
所以S矩形ADBE=BD∙AD=3×4=12.
[针对训练]2、6
达标检测
1、D
2、D
3、(2，)
4、证明：因为四边形ABDE是平行四边形，
所以AE∥BD，AB=DF，AE=BD.
因为D是BC的中点，
所以CD=BD，
所以CD∥AE，CD=AE，
所以四边形ADCF是平行四边形.
因为AB=AC.D为BC的中点，
所以AD⊥BC，即∠ADC=90°，
所以平行四边形ADCE是矩形.
【增效提能演练】
1、D
2、C
3、AB=AD
4、证明：
(1)因为BE=CF，BF =BE+EF .CE=CF+EF，
所以BF=CE.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB=DC,又因为AF=DE.
所以△ABF≌△DCE( SSS).
(2)因为△ABF≌△DCF,所以∠B=∠C.
因为四边形ABCD是平行四边形.所以AB∥CD.
所以∠B=∠C=180°.
所以∠B=∠C=90°，
所以四边形ABCD是矩形.
5、解答。
解：
(1)BD=CD.理由如下：
因为AF∥BC，
所以∠AFE=∠DCE.
因为E是以AD的中点.
所以AE=DE.
又因为∠AEF=∠DEC，
所以△AEF≌△DEC(AAS).
所以AF=CD.
因为AF=BD,
所以BD=CD.
(2)当△ABC满足AB=AC时，四边形AFBD是矩形， 理由如下：
因为AF∥BD，AF=BD,
所以四边形AFBD是平行四边形.
因为AB=AC，BD=CD，
所以∠ADB=90°，
所以□AFBD是矩形.
6、解：四边形PEMF为矩形，理由如下：
因为PE∥/MB，PF∥MC，
所以四边形PEMF为平行四边形。
在平行四边形ABCD中，AB=CD，因为点M是边AD的中点
所以AM=DM=1/2AD.
因为AB：AD=1：2，
所以AB=CD=AM=DM，
所以∠ABM=∠AMB，∠DMC=∠DCM.
因为AD∥CB，
所以∠CBM=∠AMB，∠DMC=∠BCM，
所以∠CBM=∠ABM=1/2∠ABC，∠DCM=∠BCM=1/2∠DCB.
因为AB∥CD.
所以∠ABC十∠DCB=-180°，
所以∠CBM+∠BCM=90，
所以∠BMC=90°，
所以平行四边形PEMF为矩形.
7、解答。
证明：
(1)因为CN∥AB，
所以∠DAC=∠NCA.
又因为MA=MC，∠AMD=∠CMN，
所以△AMD≌△CMN(AAS)，
所以AD=CN.
又因为AD∥CN，
所以四边形ADCN是平行四边形，
所以CD=AN.
(2)因为∠ACM=2∠MCD，∠AMD=∠MMCD+∠MDC，
所以∠MCD=∠MDC.
所以MD=MC.
由(1)，知四边形ADCN是平行四边形.
所以MD=MN=MA=MC，
所以AC=DN，
所以四边形ADCN是矩形.
8、(1)证明：如答图18.2.2-1;因为MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
所以∠2=∠5.∠4=∠6.
因为MN∥BC，
所以∠1=∠5，∠3=∠6，
所以∠l=∠2，∠3=∠4，
所以EO=CO,FO=CO，
所以0E=OF.
答图18. 2.2一l
(2)解：因为∠2=∠5，∠4=∠6，
所以∠2+∠4=∠5+∠6=90°.
因为CE==12，CF=5，
所以OC=1/2EF=6.5.
(3)解：当点O在边AC上运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形。理由如下：
当O为AC的中点时，AO=CO
因为EO=FO,
所以四边形AECF是平行四边形.
因为∠ECF=90°，
所以平行四边形AECF是矩形.
因为EP=FO;
所以四边形AECF是平行四边形.
因为∠FCF=90°，
所以□AFCF是矩形.
八年级下册数学课时练答案(二)
菱形的性质
【优效自主初探】
自主学习
1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2、(1)CD、AD 、 CD、AD
归纳：菱形的四条边都相等。
(2)OC、⊥、∠ABC、∠ADC、∠BAD、∠BCD
归纳：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
3、1/2a、AO、1/4ab、1/2ab
4、(1)70°
(2)6 cm²
【高效合作交流】
[例]思路探究：
(1)在菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，
所以△ABD为等边三角形.
(2)因为△ABD为等边三角形;
所以BD=AB=4.
又因为O为BD的中点.
所以OB=2。
解：
(1)在菱形ABCD中.AB==AD.∠A=60°，
所以△ABD为等边三角形，
所以∠ABD= 60°.
(2)由(1)，知 BD=AB=4.
因为0为BD的中点，
所以OB=2.
又因为OE⊥AB，∠ABD=60°，
所以∠BOE=30°.
所以BE=1/2OB=1
[针对训练]1
证朋：因为等边三角形CFF的边长与菱形ABCD的边长相等，
所以BC=CE.
所以∠B=∠BEC.
同理∠D=∠CFD.
又因为∠B=∠D
所以∠BEC=∠CFD.
因为△CEF为等边三角形，
所以∠CEF=∠CFE.
因为∆CEF为等边三角形，
所以∠CEF=∠CFE.
因为∠BEC+∠CEF+∠AEF=∠CFD+∠CFE+∠AFE=180°，
所以∠AEF=∠AFE.
[例2]思路探究：SAS、SSS、∠EAC、∠FAC、SAS
证明：因为AC是菱形ABCD的对角线，
所以∠EAC=∠FAC.
又因为AE=AF，AC=AC，
所以∆ACE≌∆ACF(SAS).
[针对训练]2
解：DE=DF. 证明过程如下：
如答图12.2.3-1，连接BD.
因为四边形ABCD是菱形，
所以∠CBD=∠ABD.
因为DF⊥BC，DE⊥AB，
所以∠DFB=∠DEB=90°.
又因为DB=DB，
所以∆DFB≌∆DEB(AAS)，
所以DE=DF.
答图12.2.3-1
达标检测
1、D
2、C
3、A
4、12/5
5、证明：因为四边形ABCD是菱形，
所以AB=BC，∠A=∠C，
又因为AF= CE，
所以△ABF≌△CBE( SAS)，
所以BE=BF.
【增效提能演练】
1、C
2、B
3、B
4、A
5、(3，4)
6、解答。
(1)解：△.ADC≌△ABC;△GFC≌△EFC.
(2)证明：因为四边形ABCD和四边形CEFG是菱形，
所以DC=BC,CG=CE, ∠DCA=∠BCA, ∠GCF=∠ECF.
因为点A，C，F在同一条直线上，
所以∠ACF=180°，
所以∠DCG=∠BCE.
所以△DCG≌△FCF.
所以BE=DG.
7、解答。
(1)证明：如答图18.2.3-3，连接AC.
因为BD，AC.是菱形ABC,D.的对角线，
所以BD垂直平分AC.
所以AE=EC,.
(2)解：点F是线段BC的中点，理由如下：
在菱形ABCD中，AB=BC，
又因为∠ABC=60°，
所以△ABC是等边三角形，
所以∠BAC=60°
所以AE=EC，
又因为∠EAC+∠ECA=∠CEF=60°，
所以∠EAC=1/2∠CEF=30°
所以AF是△ABC的角平分线，
所以AF是线段BC的中点，
所以点F是线段BC的中点.
9、解答。
(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，
所以AB=AD，∠BAC=∠DAC.
又因为EF⊥AC，
所以∠AOE=∠AOM=90°.
又因为AO=AO，
所以△AOE≌△AOM，
所以AE=AM.
因为AM = AE=1/2AD，
所以AM=DM.
(2)解：因为AB∥CD,
所以△AEM=△F.
又因为∠DMF =∠AME.，∠AME=∠AEM,
所以∠DMF=∠F，
所以△DFM是等腰三角形，
所以DF=DM=(1 )/2AD.
因为DF=2，
所以AD=4.
所以菱形ABCD的周长是16.
10、解答。
(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，
所以AO=CO，AD∥BC，
所以∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中，
所以△AOE≌△COF (ASA).
(2)解：因为∠BAD=60°，
所以∠DAO=1/2∠BAD=1/2×60°=30°.
因为∠EOD=30°.
所以∠AOE=90°-30°=60°，
所以∠AEF =180-∠DAO-∠A0E =180°-30°-60°=90°
因为菱形的边长为2，∠DAO=30°，
所以OD= 1/2AD=1/2×2=1，
所以OE=1/2AO=/2，AE=3/2.
由(1)，知CF=AE=3/2，EF=2×/2=，
在Rt△CEF中，
.
八年级下册数学课时练答案(三)
菱形的判定
【优效自主初探】
自主学习
1、菱形的判定定理.
(1)OC、CD、菱形
归纳：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
(2)平行、菱形
归纳：四条边相等的四边形是菱形.
2、OA=OC(注：此题答案不唯一)
【高效合作交流】
[例1]思路探究：
(1) DF、CF、10、平行四边形
(2)因为∠B=90°，AB=6 cm.BC=8 cm，
证明：由平移，得CF =AD=10 cm，DF=AC，
所以四边形ACFD是平行四边形.
因为∠B=90°，AB=6 cm.BC=8 cm,
又因为AD=10 cm，
所以AC=AD，
所以四边形ACFD是菱形.
[针对训练]1
证明：
(1)在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
所以∠AEB=∠EAD.
因为AF=AB.
所以∠ABF=∠AEB.
所以∠ABE=∠EAD.
(2)因为AD∥BC，
所以∠ADB =∠DBE.
又因为∠ABE =∠AEB，∠AEB=2∠ADB，
所以∠ABE=2∠ADB，
所以∠ABD=∠ABE-∠DBE=2∠ADB -∠ADB=∠ADB.
所以AB=AD.
又因为四边形ABCD是平行四边形，
所以四边形ABCD是菱形.
[例2]思路探究：
(1)AE=AF.理由如下：
因为点E,F分别为AB，AD的中点，
所以AE=1/2AB，
AF=1/2AD.
又因为四边形ABCD是菱形，
所以AB=AD，
所以AE=AF.
(2)因为菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点0，
所以O为BD的中点，
又因为点E，F分别为AB，AD的中点，
所以OE，OF是△ABD的中位线，
所以OF∥AD，OF∥AB，
所以四边形AEOF是平行四边形.
证明：因为点E，F分别为AB，AD的中点，
所以AE=1/2AB,AF=1/2AD，
又因为四边形ABCD是菱形，
所以AB=AD，所以AE=AF.
又因为菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O.
所以O为BD的中点，
所以OE，OF是△ABD的中位线，
所以OE∥AD，OF∥AB.
所以四边形AEOF是平行四边形，
因为AE=AF，所以四边形AEOF是菱形.
[针对训练]2
解：
(1)菱形.理由：根据题意，得AE=AF=ED=DF.
所以四边形AEDF是菱形.
(2)如答图18.2.4-1，连接EF，因为AE=AF，∠A=60°,
所以△EAF是等边三角形，
所以EF=AE=8 cm.
答图 18.2.4-1
达标检测
1、A
2、B
3、菱形
4、AB=BC(答案不唯一)
5、证明：因为∠B=60°,AB=AC，
所以∆ABC为等边三角形，
所以AB=BC，∠ACB=∠BAC=60°，
所以∠A=CE=∠FAC=120°.
因为AD平分∠FAC，CD平分∠ECA，
所以∠DAC=∠ACD=60°，
所以∠BAD=∠BCD=120°，∠B=∠D=60°，
所以四边形ABCD是平行四边形.
又因为AB=BC，
所以平行四边形BCD是菱形.
【增效提能演练】
1、B
2、A
3、B
4、有一组邻边相等的平行四边形是菱形
5、菱形
6、证明：
(1)在平行四边形ABCD中，AB∥CD,AB =CD.
因为F，F分别为AB,CD的中点，
所以DF=1/2DC,BE=1/2AB.
所以DF∥BE，DF=BE.
所以四边形DEBF是平行四边彤.
所以DE∥BF.
(2)因为AG∥BD.
所以∠G=∠DBC=90°.
所以△DBC是直角三角形，
又因为F是CD的中点，
所以BF=1/2DC=DF.
又因为四边形DEBF是平行四边形，
所以四边形DFBF是菱形.
7、解答。
(1)证明：因为AF∥BC，
所以∠AFE=∠DBE.
因为E是AD的中点，
所以AE=DE.
在△AFE和△DBE中，∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠BED，AE= DE.
所以△AFE≌△DBE(AAS).
所以AF=BD.
又因为BD=DC，
所以AF=DC.
(2)解：四边形ADCF是菱形.证明如下：
因为AF∥BC，AF=DC，
所以四边形ADCF是平行四边形.
因为AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，
所以AD= DC，
所以平行四边形ADCF是菱形.
8、D
9、菱形
10、解答
(1)证明：由题意，知∠FDC=∠DCA=90°，
所以EF∥CA，
所以∠FEA =∠CAE.
因为AF=CE=AE，
所以∠F=∠FEA=∠CAE=∠ECA.
在△EAF和△AEC中，
因为∠F=∠ECA.∠FEA=∠CAE,EA=AE,
所以△EAF≌△AEC( AAS)，
所以EF=CA，
所以平行四边形ACEF是平行四边形.
(2)解：当∠B= 30°时，四边形ACEF是菱形，理由如下：
因为∠B=30°，∠ACB=90°，
所以AC=1/2AB.
因为DE垂直平分BC，
所以BE=CE.
又因为AE=CE，
所以CE=1/2AB，
所以AC=CE.
由(1)得四边形ACEF是平行四边形，
所以四边形ACEF是菱形.
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