八年级数学上册期末考试试卷

　　【考点】等腰三角形的性质;三角形三边关系.

　　【分析】设AB=AC=x，则BC=20﹣2x，根据三角形的三边关系即可得出结论.

　　【解答】解：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，

　　∴设AB=AC=x cm，则BC=cm，

　　∴ ，

　　解得5cm

　　故答案为：5

　　【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、解一元一次不等式组，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键.

　　12.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是　50°　.

　　【考点】线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质.

　　【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可.

　　【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，

　　∴AD=BD，

　　∴∠A=∠ABD，

　　∵∠DBC=15°，

　　∴∠ABC=∠A+15°，

　　∵AB=AC，

　　∴∠C=∠ABC=∠A+15°，

　　∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，

　　解得∠A=50°.

　　故答案为：50°.

　　【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，熟记性质并用∠A表示出△ABC的另两个角，然后列出方程是解题的关键.

　　13.如图，△ABC是等边三角形，点D为AC边上一点，以BD为边作等边△BDE，连接CE.若CD=1，CE=3，则BC=　4　.

　　【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.

　　【分析】在CB上取一点G使得CG=CD，即可判定△CDG是等边三角形，可得CD=DG=CG，易证∠BDG=∠EDC，即可证明△BDG≌△EDC，可得BG=CE，即可解题.

　　【解答】解：在CB上取一点G使得CG=CD，

　　∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，

　　∴△CDG是等边三角形，

　　∴CD=DG=CG，

　　∵∠BDG+∠EDG=60°，∠EDC+∠EDG=60°，

　　∴∠BDG=∠EDC，

　　在△BDG和△EDC中，

　　，

　　∴△BDG≌△EDC(SAS)，

　　∴BG=CE，

　　∴BC=BG+CG=CE+CD=4，

　　故答案为：4.

　　【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了等边三角形的判定和性质，本题中求证△BDG≌△EDC是解题的关键.

　　14.如图，已知函数y=3x+b和y=ax﹣3的图象交于点P(﹣2，﹣5)，则根据图象可得不等式3x+b>ax﹣3的解集是　x>﹣2　.

　　【考点】一次函数与一元一次不等式.

　　【专题】数形结合.

　　【分析】函数y=3x+b和y=ax﹣3的图象交于点P(﹣2，﹣5)，求不等式3x+b>ax﹣3的解集，就是看函数在什么范围内y=3x+b的图象对应的点在函数y=ax﹣3的图象上面.

　　【解答】解：从图象得到，当x>﹣2时，y=3x+b的图象对应的点在函数y=ax﹣3的图象上面，

　　∴不等式3x+b>ax﹣3的解集为：x>﹣2.

　　故答案为：x>﹣2.

　　【点评】本题考查了一次函数与不等式(组)的关系及数形结合思想的应用.解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点(交点、原点等)，做到数形结合.

　　15.在△ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为　126或66　cm2.

　　【考点】勾股定理.

　　【专题】压轴题.

　　【分析】此题分两种情况：∠B为锐角或∠B为钝角已知AB、AC的值，利用勾股定理即可求出BC的长，利用三角形的面积公式得结果.

　　【解答】解：当∠B为锐角时(如图1)，

　　在Rt△ABD中，

　　BD= = =5cm，

　　在Rt△ADC中，

　　CD= = =16cm，

　　∴BC=21，

　　∴S△ABC= = ×21×12=126cm2;

　　当∠B为钝角时(如图2)，

　　在Rt△ABD中，

　　BD= = =5cm，

　　在Rt△ADC中，

　　CD= = =16cm，

　　∴BC=CD﹣BD=16﹣5=11cm，

　　∴S△ABC= = ×11×12=66cm2，

　　故答案为：126或66.

　　【点评】本题主要考查了勾股定理和三角形的面积公式，画出图形，分类讨论是解答此题的关键.

　　16.当x分别取﹣ 、﹣ 、﹣ 、…、﹣ 、﹣2、﹣1、0、1、2、…、2015、2016、2017时，计算分式 的值，再将所得结果相加，其和等于　﹣ 　.

　　【考点】分式的化简求值.

　　【分析】 = =﹣ =﹣(1﹣ )= ﹣1把x是分数的情况代入， = =1﹣ 把x是整数时代入，然后求值即可.

　　【解答】解： = =﹣ =﹣(1﹣ )= ﹣1，

　　= =1﹣ ，

　　则当x=﹣ 、﹣ 、﹣ 、…、﹣ 时，代入后所得结果的和是【 ﹣1】+【 ﹣1】+…+【 ﹣1】= + +…+ ﹣2016，

　　x=﹣2、﹣1、0、1时，代入所得的式子的和是：【1﹣ 】+【1﹣ 】+【1﹣ 】+【1﹣ 】= +0﹣1﹣0=﹣ .

　　当x=2、…、2015、2016、2017时，代入所得结果的和是【1﹣ 】+…+【1﹣ 】+【1﹣ 】= +0+0﹣0﹣( + +…+ + )+2016=2016﹣( + +…+ )

　　则x分别取﹣ 、﹣ 、﹣ 、…、﹣ 、﹣2、﹣1、0、1、2、…、2015、2016、2017时，计算分式 的值，再将所得结果相加是﹣ .

　　故答案是：﹣ .

　　【点评】本题考查了分式的化简求值，正确对x的值分别进行变形是解决本题的关键.

　　三、解答题(本大题共有9小题，共68分，解答时在试卷相应的位置上写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)

　　17.计算： +|1+ |.

　　【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂.

　　【分析】利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和算术平方根的性质分别化简进而得出答案.

　　【解答】解：原式=2 +2﹣1+1+

　　=3 +2.

　　【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

　　18.解方程： =1+ .

　　【考点】解分式方程.

　　【分析】先把分式方程化为整式方程，求出x的值，代入最简公分母进行检验即可.

　　【解答】解：方程两边同乘x(x﹣1)，得：x2=x(x﹣1)+2(x﹣1)，

　　解这个整式方程，得：x=2.

　　检验：当x=2时，x(x﹣1)≠0，

　　故原方程的解是x=2.

　　【点评】本题考查的是解分式方程，在解答此类问题时要注意验根.

　　19.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1.

　　(1)图1中已知线段AB、CD，画线段EF，使它与AB、CD组成轴对称图形(要求：画出一个即可);

　　(2)在图2中画出一个以格点为端点长为 的线段.

　　【考点】利用轴对称设计图案;勾股定理.

　　【分析】(1)根据轴对称图形的定义：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能完全重合，那么这个图形是轴对称图形画图即可;

　　(2)根据勾股定理可得：直角边长为2和3的直角三角形斜边长为 ，由此可作出长为 的线段.

　　【解答】解：(1)如图1所示，EF即为所求;

　　(2)如图2所示，线段MN= .

　　【点评】此题主要考查了勾股定理的应用和利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的定义和勾股定理.

　　20.已知：y﹣3与x成正比例，且当x=﹣2时，y的值为7.

　　(1)求y与x之间的函数关系式;

　　(2)若点(﹣2，m)、点(4，n)是该函数图象上的两点，试比较m、n的大小，并说明理由.

　　【考点】待定系数法求一次函数解析式;一次函数图象上点的坐标特征.

　　【分析】(1)利用待定系数法，设函数为y﹣3=kx，再把x=﹣2，y=7代入求解即可.

　　(2)根据函数是降函数即可判断.

　　【解答】解：(1)∵y﹣3与x成正比例，

　　∴y﹣3=kx，

　　∵当x=﹣2时，y=7，

　　∴k=﹣2，

　　∴y﹣3=﹣2x，

　　∴y与x的函数关系式是：y=﹣2x+3.

　　(2)∵y与x的函数关系式是：y=﹣2x+3，

　　∴该函数是降函数，

　　∵﹣2<4，

　　∴m>n.

　　【点评】此题考查利用待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，正确利用正比例函数的特点以及一次函数的增减性是本题的关键.

　　21.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F.

　　(1)求证：△ACD≌△CBF;

　　(2)求证：AB垂直平分DF.

　　【考点】全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质.

　　【专题】计算题.

　　【分析】(1)根据∠ACB=90°，求证∠CAD=∠BCF，再利用BF∥AC，求证∠ACB=∠CBF=90°，然后利用ASA即可证明△ACD≌△CBF.

　　(2)先根据ASA判定△ACD≌△CBF得到BF=BD，再根据角度之间的数量关系求出∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线，从而利用等腰三角形三线合一的性质求证即可.

　　【解答】解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，

　　∴∠CAB=∠CBA=45°，

　　∵CE⊥AD，

　　∴∠CAD=∠BCF，

　　∵BF∥AC，

　　∴∠FBA=∠CAB=45°

　　∴∠ACB=∠CBF=90°，

　　在△ACD与△CBF中，

　　∵ ，

　　∴△ACD≌△CBF;

　　(2)证明：∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，

　　∴∠BCE=∠CAE.

　　∵AC⊥BC，BF∥AC.

　　∴BF⊥BC.

　　∴∠ACD=∠CBF=90°，

　　在△ACD与△CBF中，

　　∵ ，

　　∴△ACD≌△CBF，

　　∴CD=BF.

　　∵CD=BD= BC，

　　∴BF=BD.

　　∴△BFD为等腰直角三角形.

　　∵∠ACB=90°，CA=CB，

　　∴∠ABC=45°.

　　∵∠FBD=90°，

　　∴∠ABF=45°.

　　∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线.

　　∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，

　　即AB垂直平分DF.

　　【点评】本题主要考查了三角形全等的判定和角平分线的定义以及线段的垂直平分线的性质等几何知识.要注意的是：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.

　　22.先化简，再求值：( ﹣ )÷ ，其中x= .

　　【考点】分式的化简求值.

　　【专题】计算题.

　　【分析】原式括号中利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值.

　　【解答】解：原式= • = • = ，

　　当x= 时，原式= .

　　【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

　　23.如图所示，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形拼成，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=b，BC=a，请你利用这个图形解决下列问题：

　　(1)证明勾股定理;

　　(2)说明a2+b2≥2ab及其等号成立的条件.

　　【考点】勾股定理的证明.

　　【分析】(1)根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式.

　　(2)利用非负数的性质证明即可.

　　【解答】解：(1)∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为 ab，小正方形面积为：(b﹣a)2，

　　∴c2=4× ab+(a﹣b)2=2ab+a2﹣2ab+b2

　　即c2=a2+b2.

　　(2)∵(a﹣b)2≥0，

　　∴a2﹣2ab+b2≥0，

　　∴a2+b2≥2ab，

　　当且仅当a=b时，等号成立.

　　【点评】本题考查了对勾股定理的证明和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键.

　　24.已知直线l1：y=﹣ 与直线l2：y=kx﹣ 交于x轴上的同一个点A，直线l1与y轴交于点B，直线l2与y轴的交点为C.

　　(1)求k的值，并作出直线l2图象;

　　(2)若点P是线段AB上的点且△ACP的面积为15，求点P的坐标;

　　(3)若点M、N分别是x轴上、线段AC上的动点(点M不与点O重合)，是否存在点M、N，使得△ANM≌△AOC?若存在，请求出N点的坐标;若不存在，请说明理由.

　　【考点】一次函数综合题.

　　【专题】计算题;综合题;一次函数及其应用.

　　【分析】(1)对于直线l1，令y=0求出x的值，确定出A坐标，代入直线l2求出k的值，作出直线l2图象即可;

　　(2)设P(a，b)，△ACP面积=△ABC面积﹣△BPC面积，根据已知三角形ACP面积求出a的值，进而求出b的值，确定出P坐标即可;

　　(3)如图2，作ND⊥x轴于D，利用勾股定理求出AC的长，由△ANM≌△AOC，得到对应边相等，表示出AM，AN，MN，确定出△AMN为直角三角形，利用面积法求出ND的长，确定出N纵坐标，进而求出横坐标，确定出N坐标即可.

　　【解答】解：(1)∵直线l1：y=﹣ x+3与x轴交于点A，

　　∴令y=0时，x=4，即A(4，0)，

　　将A(4，0)代入直线l2：y=kx﹣ ，得k= ，

　　直线l2图象如图1所示;

　　(2)设P(a，b)，

　　根据题意得：S△ACP=S△ABC﹣S△PBC= ×(3+ )×4﹣ ×(3+ )a=15，

　　解得：a= ，

　　将P( ，b)代入直线l1得：b= ×(﹣ )+3=﹣ +3= ，

　　∴点P的坐标( ， );

　　(3)如图2，作ND⊥x轴于D，

　　∵AC= = ，△ANM≌△AOC，

　　∴AM=AC= ，AN=AO=4，MN=OC= ，∠ANM=∠AOC=90°，

　　∵S△AMN= AM•ND= AN•MN，

　　∴ND= = = ，

　　将N的纵坐标y=﹣ 代入直线l2得：x= ，

　　∴当N的纵坐标为( ，﹣ )时，△ANM≌△AOC.

　　【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的性质，勾股定理，三角形面积，以及坐标与图形性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键.

　　25.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在△ABC的外部作∠ACM，使得∠ACM= ∠ABC，点D是直线BC上的动点，过点D作直线CM的垂线，垂足为E，交直线AC于F.

　　(1)如图1所示，当点D与点B重合时，延长BA，CM交点N，证明：DF=2EC;

　　(2)当点D在直线BC上运动时，DF和EC是否始终保持上述数量关系呢?请你在图2中画出点D运动到CB延长线上某一点时的图形，并证明此时DF与EC的数量关系.

　　【考点】全等三角形的判定与性质.

　　【分析】(1)延长BA，CM交点N，先证明BC=BN，得出CN=2CE，再证明△BAF≌△CAN，得出对应边相等BF=CN，即可得出结论;

　　(2)作∠PDE=22.5，交CE的延长线于P点，交CA的延长线于N，先证明PD=CD，得出PC=2CE，再证明△DNF≌△PNC，得出对应边相等DF=PC，即可得出结论.

　　【解答】解：(1)如图(1)，延长BA，CM交点N，

　　∵∠A=90°，AB=AC，

　　∴∠ABC=∠ACB=45°，

　　∵∠ACM= ∠ABC=22.5°，

　　∴∠BCM=67.5°，

　　∴∠BNC=67.5°=∠BCM，

　　∴BC=BN，

　　∵BE⊥CE，

　　∴∠ABE=22.5°，CN=2CE，

　　∴∠ABE=∠ACM=22.5°，

　　在△BAF和△CAN中， ，

　　∴△BAF≌△CAN(ASA)，

　　∴BF=CN，

　　∴BF=2CE;

　　(2)保持上述关系;BF=2CE;

　　证明如下：

　　作∠PDE=22.5，交CE的延长线于P点，交CA的延长线于N，

　　如图(2)所示：

　　∵DE⊥PC，∠ECD=67.5，

　　∴∠EDC=22.5°，

　　∴∠PDE=∠EDC，∠NDC=45°，

　　∴∠DPC=67.5°，

　　∴PD=CD，

　　∴PE=EC，

　　∴PC=2CE，

　　∵∠NDC=45°，∠NCD=45°，

　　∴∠NCD=∠NDC，∠DNC=90°，

　　∴ND=NC且∠DNC=∠PNC，

　　在△DNF和△PNC中， ，

　　∴△DNF≌△PNC(ASA)，

　　∴DF=PC，

　　∴DF=2CE.

　　【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质;通过作辅助线证明等腰三角形和全等三角形是解决问题的关键.

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