八年级下册数学期中试卷
八年级下册数学期中试卷
一提到数学期中考试，不少八年级同学十分紧张，看看书本，学了不少知识，但所剩时间不多。学习啦为大家整理了八年级下册数学期中试卷，欢迎大家阅读!
八年级下册数学期中试题
一、选择题：
1.若二次根式 有意义，则x的取值范围是( )
A.x>1 B.x≥1 C.x<1 D.x≤1
2.下列方程中，关于x的一元二次方程的是( )
A.2x﹣x2=0 B.x﹣1=2x﹣3 C.3x2﹣2=y D. ﹣x+3=0
3.在一次献爱心的捐赠活动中，某班45名同学捐款金额统计如下：
金额(元) 20 30 35 50 100
学生数(人) 5 10 5 15 10
在这次活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数分别是( )
A.30，35 B.50，35 C.50，50 D.15，50
4.用配方法解方程x2﹣4x﹣6=0时，下列变形正确的是( )
A.(x﹣2)2=6 B.(x﹣2)2=10 C.(x﹣4)2=6 D.(x﹣4)2=10
5.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
6.如图，两个平行四边形的面积分别为18、12，两阴影部分的面积分别为a、b(a>b)，则(a﹣b)等于( )
A.4 B.5 C.6 D.7
7.若点P(a，2)与Q(﹣1，b)关于坐标原点对称，则a，b分别为( )
A.﹣1，2 B.1，﹣2 C.1，2 D.﹣1，﹣2
8.平行四边形的两条对角线分别为10和16，则它的一边长可以是( )
A.15 B.12 C.13 D.14
9.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为( )
A.x(x+1)=1035 B.x(x﹣1)=1035×2 C.x(x﹣1)=1035 D.2x(x+1)=1035
10.已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列5个条件：①AB∥CD;②OA=OC;③AB=CD;④∠BAD=∠DCB;⑤AD∥BC，从以上5个条件中任选2个条件为一组，能判定四边形ABCD是平行四边形的有( )组.
A.4 B.5 C.6 D.7
二、填空题：(本题有10小题，每小题3分，共30分)
11.化简 的结果是 .
12.如图，在平行四边形ABCD中，∠A+∠C=240°，则∠B= 度.
13.在证明命题“一个三角形中至少有一个内角不大于60°”成立时，我们利用反证法，先假设 ，则可推出三个内角之和大于180°，这与三角形内角和定理相矛盾.
14.若x1与x2的平均数为6，则x1+1与x2+3的平均数为 .
15.已知关于x的一元二次方程x2+mx+3=0的一个根是1，则方程的另一个根为 .
16.如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知△BOC的周长比△AOB的周长大3，平行四边形ABCD的周长为26，则BC的长度为 .
17.若y= ，则x+y= .
18.如图，E是直线CD上的一点.已知▱ABCD的面积为52cm2，则△ABE的面积为 cm2.
19.如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为 .
20.已知在直角坐标系中有A、B、C、D四个点，其中A，B，C三个点的坐标分别为(0，2)，(﹣1，0)，(2，0)，则当点D的坐标为 时，以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形.
三、解答题：(第21-24每题6分，第25-26每题8分，第27题10分，共50分).
21.计算：
(1)
(2) .
22.解方程：
(1)3x2﹣7x=0
(2)(x﹣2)(2x﹣3)=2(x﹣2)
23.在全运会射击比赛的选拔赛中，运动员甲10次射击成绩的统计表(表1)和扇形统计图如下：
命中环数 10 9 8 7
命中次数 3 2
(1)根据统计表(图)中提供的信息，补全统计表及扇形统计图;
(2)已知乙运动员10次射击的平均成绩为9环，方差为1.2，如果只能选一人参加比赛，你认为应该派谁去?并说明理由.
24.如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，M，N在对角线AC上，且AM=CN，求证：BM∥DN.
25.如图，在▱ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M.
(1)试说明：AE⊥BF;
(2)判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明.
26.商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件.后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件.
(1)问商场经营该商品原来一天可获利润多少元?
(2)若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品售价应为多少元?
27.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(﹣3，0)，(0，6)，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动.以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒.
(1)当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标;
(2)当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形;
(3)在线段PE上取点F，使PF=2，过点F作MN⊥PE，截取FM= ，FN=1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，直接写出所有满足条件的t的值.
八年级下册数学期中试卷参考答案
一、选择题：
1.若二次根式 有意义，则x的取值范围是( )
A.x>1 B.x≥1 C.x<1 D.x≤1
【考点】二次根式有意义的条件.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可.
【解答】解：∵二次根式 有意义，
∴x﹣1≥0，
∴x≥1.
故选B.
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据题意列出关于x的不等式是解答此题的关键.
2.下列方程中，关于x的一元二次方程的是( )
A.2x﹣x2=0 B.x﹣1=2x﹣3 C.3x2﹣2=y D. ﹣x+3=0
【考点】一元二次方程的定义.
【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2;二次项系数不为0;是整式方程;含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案.
【解答】解：A、是一元二次方程，正确;
B、没有二次项，故错误;
C、含有两个未知数，故错误;
D、不是整式方程，故错误;
故选A.
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.
3.在一次献爱心的捐赠活动中，某班45名同学捐款金额统计如下：
金额(元) 20 30 35 50 100
学生数(人) 5 10 5 15 10
在这次活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数分别是( )
A.30，35 B.50，35 C.50，50 D.15，50
【考点】众数;中位数.
【分析】根据众数、中位数的定义，结合表格数据进行判断即可.
【解答】解：捐款金额学生数最多的是50元，
故众数为50;
共45名学生，中位数在第23名学生处，第23名学生捐款50元，
故中位数为50;
故选C.
【点评】本题考查了众数及中位数的知识，解答本题的关键是熟练掌握众数及中位数的定义.
4.用配方法解方程x2﹣4x﹣6=0时，下列变形正确的是( )
A.(x﹣2)2=6 B.(x﹣2)2=10 C.(x﹣4)2=6 D.(x﹣4)2=10
【考点】解一元二次方程-配方法.
【分析】先将常数项移到等号的右边，然后配方将方程左边配成一个完全平方式即可.
【解答】解：移项得x2﹣4x=6，
配方得x2﹣4x+4=6+4，
即(x﹣2)2=10，
故选B.
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程的运用，解答时熟练运用配方法的步骤是关键，此题难度一般.
5.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【考点】中心对称图形;轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【解答】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意;
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意;
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意;
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意.
故选：A.
【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.
6.如图，两个平行四边形的面积分别为18、12，两阴影部分的面积分别为a、b(a>b)，则(a﹣b)等于( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【考点】平行四边形的性质.
【分析】设设重叠部分面积为c，则a﹣b=(a+c)﹣(b+c)问题得解.
【解答】解：设重叠部分面积为c，
a﹣b=(a+c)﹣(b+c)=18﹣12=6，
故选C，
【点评】本题考查了平行四边形的性质和其面积的有关计算，解题的关键是设出设重叠部分面积为c，有整体减部分即可求出问题的答案.
7.若点P(a，2)与Q(﹣1，b)关于坐标原点对称，则a，b分别为( )
A.﹣1，2 B.1，﹣2 C.1，2 D.﹣1，﹣2
【考点】关于原点对称的点的坐标.
【专题】计算题.
【分析】平面直角坐标系中任意一点P(x，y)，关于原点的对称点是(﹣x，﹣y)，那么，即可求得a与b的值.
【解答】解：∵点P(a，2)与Q(﹣1，b)关于坐标原点对称，
∴a，b分别为1，﹣2;
故本题选B.
【点评】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题.
8.平行四边形的两条对角线分别为10和16，则它的一边长可以是( )
A.15 B.12 C.13 D.14
【考点】平行四边形的性质;三角形三边关系.
【分析】取平行四边形两条对角线的一半与一边组成三角形，利用三角形的三边关系，可以确定出这一边的范围，再进一步作出判断.
【解答】解：∵平行四边形的两条对角线长是10和16，
∴平行四边形两条对角线的一半分别为5，8，
设另一边长为x，
则5
各选项中在这个范围内的有12.
故选B.
【点评】本题考查了平行四边形的性质，即平行四边形的对角线互相平分;解题的关键是利用三角形的三边关系，确定出所求边的长度范围.
9.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为( )
A.x(x+1)=1035 B.x(x﹣1)=1035×2 C.x(x﹣1)=1035 D.2x(x+1)=1035
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.
【专题】其他问题.
【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出(x﹣1)张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x(x﹣1)张，即可列出方程.
【解答】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出(x﹣1)张;
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x(x﹣1)=1035.
故选C.
【点评】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用.计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键.
10.已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列5个条件：①AB∥CD;②OA=OC;③AB=CD;④∠BAD=∠DCB;⑤AD∥BC，从以上5个条件中任选2个条件为一组，能判定四边形ABCD是平行四边形的有( )组.
A.4 B.5 C.6 D.7
【考点】平行四边形的判定.
【分析】根据平行四边形的判定进行选择即可.
【解答】解：①与⑤根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形;
①与③根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形;
①与④，⑤与④根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形;
①与②，②与⑤根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形.
所以能推出四边形ABCD为平行四边形的有6组.
故选C.
【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键.
二、填空题：(本题有10小题，每小题3分，共30分)
11.化简 的结果是 3 .
【考点】二次根式的性质与化简.
【分析】根据二次根式的性质解答.
【解答】解： = =3.
故答案为：3.
【点评】解答此题利用如下性质： =|a|.
12.如图，在平行四边形ABCD中，∠A+∠C=240°，则∠B= 60 度.
【考点】平行四边形的性质.
【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，∠A=∠C，从而可得∠A的度数，再根据AD∥BC可得∠A+∠B=180°，进而可得答案.
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠A=∠C，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A+∠C=240°，
∴∠A=120°，
∴∠B=180°﹣120°=60°，
故答案为：60.
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对角相等.
13.在证明命题“一个三角形中至少有一个内角不大于60°”成立时，我们利用反证法，先假设 三角形的三个内角都大于60° ，则可推出三个内角之和大于180°，这与三角形内角和定理相矛盾.
【考点】反证法.
【分析】根据反证法的步骤，先假设结论不成立，即否定命题即可.
【解答】解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的三个内角都大于60°.
故答案为：三角形的三个内角都大于60°.
【点评】本题考查的是反证法的知识，掌握反证法的步骤是：(1)假设结论不成立;(2)从假设出发推出矛盾;(3)假设不成立，则结论成立是解题的关键.
14.若x1与x2的平均数为6，则x1+1与x2+3的平均数为 8 .
【考点】算术平均数.
【分析】根据平均数的性质知，要求x1+1，x2+3平均数，只要把数x1、x2的和表示出即可.
【解答】解：∵数x1、x2的平均数为6，
∴数x1+x2=2，6=12，
∴x1+1、x2+3的平均数
=(x1+1+x2+3)÷2
=(12+4)÷2
=16÷2
=8.
故答案为8.
【点评】本题考查的是样本平均数的求法.解决本题的关键是用一组数据的平均数表示另一组数据的平均数.
15.已知关于x的一元二次方程x2+mx+3=0的一个根是1，则方程的另一个根为 3 .
【考点】根与系数的关系.
【分析】由于该方程的一次项系数是未知数，所以求方程的另一解可以根据根与系数的关系进行计算.
【解答】解：设方程的另一根为x1，
根据根与系数的关系可得：x1•1=3，
解得x1=3.
故答案为3.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程两根为x1，x2，则x1+x2=﹣ ，x1•x2= .
16.如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知△BOC的周长比△AOB的周长大3，平行四边形ABCD的周长为26，则BC的长度为 8 .
【考点】平行四边形的性质.
【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角线互相平分，由于△BOC的周长比△AOB的周长大3，可得BC比AB长3，再由平行四边形的周长为26，可得AB+BC=13，进而可求出BC的长.
【解答】解：∵平行四边形的周长为26，
∴AB+BC=13，
又△BOC的周长比△AOB的周长大3，
∴BC﹣AB=3，
解得：AB=5，BC=8，
故答案为8.
【点评】此题主要考查平行四边的性质：平行四边形的两组对边分别相等且平行四边形的对角线互相平分，题目比较简单，是中考常见题型.
17.若y= ，则x+y= 7 .
【考点】二次根式有意义的条件.
【专题】计算题.
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x、y的值，再代入x+y进行计算即可.
【解答】解：∵原二次根式有意义，
∴x﹣3≥0，3﹣x≥0，
∴x=3，y=4，
∴x+y=7.
故答案为：7.
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0.
18.如图，E是直线CD上的一点.已知▱ABCD的面积为52cm2，则△ABE的面积为 26 cm2.
【考点】平行四边形的性质.
【专题】数形结合.
【分析】根据平行四边形面积的表示形式及三角形的面积表达式可得出△ABE的面积为平行四边形的面积的一半.
【解答】解：根据图形可得：△ABE的面积为平行四边形的面积的一半，
又∵▱ABCD的面积为52cm2，
∴△ABE的面积为26cm2.
故答案为：26.
【点评】本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是根据图形的形状得出△ABE的面积为平行四边形的面积的一半.
19.如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为 .
【考点】三角形中位线定理;直角三角形斜边上的中线.
【专题】压轴题.
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF的长，再利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可求出DE的长，进而求出EF的长
【解答】解：∵∠AFB=90°，D为AB的中点，
∴DF= AB=2.5，
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE= BC=4，
∴EF=DE﹣DF=1.5，
故答案为：1.5.
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
20.已知在直角坐标系中有A、B、C、D四个点，其中A，B，C三个点的坐标分别为(0，2)，(﹣1，0)，(2，0)，则当点D的坐标为 (3，2)、(﹣3，2)、(1，﹣2) 时，以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形.
【考点】平行四边形的判定;坐标与图形性质.
【分析】分别在平面直角坐标系中确定出A、B、C的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定D的位置.
【解答】解：如图所示：
故答案为：(3，2)、(﹣3，2)、(1，﹣2).
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
三、解答题：(第21-24每题6分，第25-26每题8分，第27题10分，共50分).
21.计算：
(1)
(2) .
【考点】二次根式的混合运算.
【专题】计算题.
【分析】(1)根据二次根式的性质化简得到原式=6﹣5+3，然后进行加减运算;
(2)利用平方差公式和完全平方公式进行计算.
【解答】解：(1)原式=6﹣5+3
=4;
(2)原式=9﹣2+1+2 +2
=10+2 .
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.
22.解方程：
(1)3x2﹣7x=0
(2)(x﹣2)(2x﹣3)=2(x﹣2)
【考点】解一元二次方程-因式分解法.
【专题】计算题.
【分析】(1)利用因式分解法解方程;
(2)先移项得到(x﹣2)(2x﹣3)﹣2(x﹣2)=0，然后利用因式分解法解方程.
【解答】解：(1)x(3x﹣7)=0，
x=0或3x﹣7=0，
所以x1=0，x2= ;
(2)(x﹣2)(2x﹣3)﹣2(x﹣2)=0，
(x﹣2)(2x﹣3﹣2)=0，
x﹣2=0或2x﹣3﹣2=0，
所以x1=2，x2= .
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).
23.在全运会射击比赛的选拔赛中，运动员甲10次射击成绩的统计表(表1)和扇形统计图如下：
命中环数 10 9 8 7
命中次数 4 3 2 1
(1)根据统计表(图)中提供的信息，补全统计表及扇形统计图;
(2)已知乙运动员10次射击的平均成绩为9环，方差为1.2，如果只能选一人参加比赛，你认为应该派谁去?并说明理由.
【考点】方差;统计表;扇形统计图.
【分析】(1)根据统计表(图)中提供的信息，可列式得命中环数是7环的次数是10×10%，10环的次数是10﹣3﹣2﹣1，再分别求出命中环数是8环和10环的圆心角度数画图即可，
(2)先求出甲运动员10次射击的平均成绩和方差，再与乙比较即可.
【解答】解：(1)命中环数是7环的次数是10×10%=1(次)，10环的次数是10﹣3﹣2﹣1=4(次)，
命中环数是8环的圆心角度数是;360°× =72°，10环的圆心角度数是;360°× =144°，
画图如下：
故答案为：4，1;
(2)∵甲运动员10次射击的平均成绩为(10×4+9×3+8×2+7×1)÷10=9环，
∴甲运动员10次射击的方差= [(10﹣9)2×4+(9﹣9)2×3+(8﹣9)2×2+(7﹣9)2]=1，
∵乙运动员10次射击的平均成绩为9环，方差为1.2，大于甲的方差，
∴如果只能选一人参加比赛，认为应该派甲去.
【点评】本题考查了方差：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为 ，则方差S2= [(x1﹣ )2+(x2﹣ )2+…+(xn﹣ )2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.
24.如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，M，N在对角线AC上，且AM=CN，求证：BM∥DN.
【考点】平行四边形的性质.
【专题】证明题.
【分析】由平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，再证出OM=ON，由SAS证明△BOM≌△DON，得出对应角相等∠OBM=∠ODN，再由内错角相等，两直线平行，即可得出结论.
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AM=CN，∴OM=ON，
在△BOM和△DON中， ，
∴△BOM≌△DON(SAS)，
∴∠OBM=∠ODN，
∴BM∥DN.
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定方法;熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键.
25.如图，在▱ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M.
(1)试说明：AE⊥BF;
(2)判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明.
【考点】相似三角形的判定与性质;角平分线的性质;平行四边形的性质.
【专题】几何综合题.
【分析】(1)因为AE，BF分别是∠DAB，∠ABC的角平分线，那么就有∠MAB= ∠DAB，∠MBA= ∠ABC，而∠DAB与∠ABC是同旁内角互补，所以，能得到∠MAB+∠MBA=90°，即得证.
(2)两条线段相等.利用平行四边形的对边平行，以及角平分线的性质，可以得到△ADE和△BCF都是等腰三角形，那么就有CF=BC=AD=DE，再利用等量减等量差相等，可证.
【解答】解：
(1)方法一：如图①，
∵在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴∠DAB=2∠BAE，∠ABC=2∠ABF.
∴2∠BAE+2∠ABF=180°.
即∠BAE+∠ABF=90°.
∴∠AMB=90°.
∴AE⊥BF.
方法二：如图②，延长BC、AE相交于点P，
∵在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAP=∠APB.
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAP=∠PAB.
∴∠APB=∠PAB.
∴AB=BP.
∵BF平分∠ABP，
∴AP⊥BF，
即AE⊥BF.
(2)方法一：线段DF与CE是相等关系，即DF=CE，
∵在▱ABCD中，CD∥AB，
∴∠DEA=∠EAB.
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB.
∴∠DEA=∠DAE.
∴DE=AD.
同理可得，CF=BC.
又∵在▱ABCD中，AD=BC，
∴DE=CF.
∴DE﹣EF=CF﹣EF.
即DF=CE.
方法二：如图，延长BC、AE设交于点P，延长AD、BF相交于点O，
∵在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAP=∠APB.
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAP=∠PAB.
∴∠APB=∠PAB.
∴BP=AB.
同理可得，AO=AB.
∴AO=BP.
∵在▱ABCD中，AD=BC，
∴OD=PC.
又∵在▱ABCD中，DC∥AB，
∴△ODF∽△OAB，△PCE∽△PBA.
∴ = ， = .
∴DF=CE.
【点评】本题利用了角平分线的性质，平行四边形的性质以及等量减等量差相等等知识.
26.商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件.后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件.
(1)问商场经营该商品原来一天可获利润多少元?
(2)若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品售价应为多少元?
【考点】一元二次方程的应用.
【专题】销售问题.
【分析】(1)不降价时，利润=不降价时商品的单件利润×商品的件数.
(2)可根据：降价后的单件利润×降价后销售的商品的件数=2160，来列出方程，求出未知数的值，进而求出商品的售价.
【解答】解：(1)若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100×(100﹣80)=2000(元).
(2)设后来该商品每件降价x元，依题意，得
(100﹣80﹣x)(100+10x)=2160，
即x2﹣10x+16=0.
解得x1=2，x2=8.
当x=2时，售价为100﹣2=98(元)，
当x=8时，售价为100﹣8=92(元).
故商店经营该商品一天要获利润2160元时，每件商品应售价应为98元或92元.
【点评】可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解.注意单件利润×销售的商品的件数=总利润.
27.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(﹣3，0)，(0，6)，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动.以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒.
(1)当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标;
(2)当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形;
(3)在线段PE上取点F，使PF=2，过点F作MN⊥PE，截取FM= ，FN=1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，直接写出所有满足条件的t的值.
【考点】四边形综合题.
【分析】(1)当C运动到OB的中点时，根据时间t=路程/速度即可求得，进而求得E的坐标;
(2)证明△AOC≌△EPD，则AC=DE，∠CAO=∠DEP，则AC和DE平行且相等，则四边形ADEC为平行四边形;
(3)利用待定系数法求得CE和DE的解析式，然后用t表示出M、N的坐标，代入解析式即可求得t的值.
【解答】解：(1)BC= OC=3，则 ，
OP= ，则OE=OP+PE=OP+OA= +3= ，
则E的坐标是( ，0);
(2)∵四边形PCOD是平行四边形，
∴OC=PD，
在△AOC和△EPD中，
，
∴△AOC≌△EPD，
∴AC=DE，∠CAO=∠DEP，
∴AC∥DE，
∴四边形ADEC是平行四边形;
(3)C的坐标是(0，6﹣2t)，P的坐标是(t，0)，则F的坐标是(t+2，0).，E的坐标是(t+3，0)，D的坐标是(t，2t﹣6).
设CE的解析式是y=kx+b，
则 ，
解得： ，
则CE的解析式是y= ，
同理DE的解析式是y= + .
当M在CE上时，M的坐标是(t+2， )，
则 ，
解得：t=21﹣12 ，或t=1.5.
当N在DE上是，N的坐标是(t+2，﹣1)，则 =﹣1，
解得：t=3+ 或t=9.
总之， ，t2=1.5， ，t4=9.
【点评】本题考查了平行四边形的判定与待定系数法求函数解析式，正确求得CE和DE的解析式是关键.
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