探究二次函数在高中时的应用
在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质(图像以及单调性、奇偶性、有界性)灵活应用，对二次函数还需再深入学习。
一、进一步深入理解函数概念
初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射ƒ:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应，记为ƒ(x)= ax2+ bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：
类型I：已知ƒ(x)= 2x2+x+2，求ƒ(x+1)
这里不能把ƒ(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。
类型Ⅱ：设ƒ(x+1)=x2-4x+1,求ƒ(x)
这个问题理解为，已知对应法则ƒ下，定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。
一般有两种方法：
(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。
ƒ(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6，再用x代x+1得ƒ(x)=x2-6x+6
(2) 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。
令t=x+1，则x=t-1 ∴(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6从而ƒ(x)= x2-6x+6
二、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维：
类型Ⅴ：设二次函数ƒ(x)=ax2+bx+c(a>0)方程ƒ(x)-x=0的两个根x1，x2满足0<x1<x2<1a。
(Ⅰ)当X∈(0,x1)时，证明X<ƒ(x)<x1。
(Ⅱ)设函数ƒ(x)的图像关于直线x=x0对称，证明x0< x2。
解题思路：
本题要证明的是x<ƒ(x)，ƒ(x)<x1和x0< x2 ，由题中所提供的信息可以联想到：①ƒ(x)=x，说明抛物线与直线y=x在第一象限内有两个不同的交点;②方程ƒ(x)-x=0可变为ax2+(b-1)x+1=0，它的两根为x1,x2，可得到x1,x2与a.b.c之间的关系式，因此解题思路明显有三条①图像法②利用一元二次方程根与系数关系③利用一元二次方程的求根公式，辅之以不等式的推导。现以思路②为例解决这道题：
(Ⅰ)先证明x<ƒ(x)，令ƒ(x)=ƒ(x)-x，因为x1,x2是方程ƒ(x)-x=0的根，ƒ(x)=ax2+bx+c，所以能ƒ(x)=a(x-x1)(x-x2)
因为0<x1<x2,所以,当x∈(0,x1)时, x-x1<0, x-x2<0得(x-x1)(x-x2)>0,又a>0,因此ƒ(x) >0,即ƒ(x)-x>0.至此,证得x<ƒ(x)
根据韦达定理,有 x1x2=ca ∵ 0
即x<ƒ(x)<x1
(Ⅱ) ∵ƒ(x)=ax2+bx+c=a(x+-b/2a)2+(c-),(a>0)
函数ƒ(x)的图像的对称轴为直线x=- b/2a,且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x0=-b/2a，因为x1,x2是二次方程ax2+(b-1)x+c=0的根，根据违达定理得，x1+x2=-b-1a，∵x2-1a<0，
∴x0=-b2a=12(x1+x2-1a)<x2,即x0=x2。
三、二次函数的单调性，最值与图像。
在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间(-∞，-b2a]及[-b2a，+∞) 上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图像的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图像学习二次函数有关的一些函数单调性。
类型Ⅲ：画出下列函数的图像，并通过图像研究其单调性。
(1)y=x2+2|x-1|-1
(2)y=|x2-1|
(3)= x2+2|x|-1
这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图像。
类型Ⅳ设ƒ(x)=x2-2x-1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。
求：g(t)并画出 y=g(t)的图像
解：ƒ(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2，在x=1时取最小值-2
当1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=-2
当t>1时，g(t)=ƒ(t)=t2-2t-1
当t<0时，g(t)=ƒ(t+1)=t2-2
t2-2, (t<0)
g(t)= -2，(0≤t≤1)
t2-2t-1, (t>1)
首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。
如：y=3x2-5x+6(-3≤x≤-1)，求该函数的值域。
二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。
二次函数的内容涉及很广，本文只讨论至此，希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识，使我们对它的研究更深入。