大学数学方面论文范文
大学数学方面论文范文
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大学数学方面论文范文篇1
赵爽的数学哲学思想与应用价值
摘要：赵爽是东汉末年至三国时期的着名数学家，他在《周髀算经》的注文中提出许多新的数学见解。同时，他的数学思想及方法对中国整个数学体系的形成及发展都有着重要的作用。
关键词：唐代 丝绸之路 极盛而衰 历史演变。
赵爽是东汉末年至三国时期的着名数学家，同时也是中国历史上着名的天文学家，他大约生活在 3 世纪，生卒不详。他在数学上的成就主要表现为对勾股定理简洁的证明，重差术的理论，一元二次方程的求解及根与系数的关系四个方面的贡献。2 世纪，赵爽开始深入研究《周髀算经》，该书是中国历史上最古老的天文学着作，其中就有对“勾股圆方图”的注释，总结出中国古代的勾股定理，这是对中国数学史的巨大贡献。另外，赵爽还在此基础上进行了创新，提出了新的证明公式。赵爽在数学方面的成就主要体现其所撰写的《勾股圆方图》，是中国历史上第一次明确给出勾股定理明确证明的着作，而且这种证明简单实用，至今仍在沿用。赵爽还创造出世界上最早的求根公式，并对《九章算术》中的分数计算方法上升到理论高度，创立了“齐同术”,足见称其为数学宗师是非常恰当的。
一、赵爽数学思想产生的社会背景。
1.来源于人类实践活动的数学思想。赵爽在《周髀算经》的注文中提到“:大禹治水，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，勾股之所由生也。”这就说明，大禹治水时期便采用了疏通河流的办法使大水流往大海，而无“浸溺逆”,这也是勾股定理产生的重要原因。赵爽的这一思想与古希腊数学家欧弟姆斯对几何学的产生的思路不谋而合，欧弟姆斯曾说“:几何学是埃及人发现的，是在测量土地的过程中产生的，因为那时候的尼罗河泛滥成灾，经常冲毁良田，这种几何学的测量技术是必要的。”[1]17所以，几何学起源于土地测量，一般从事农业生产的民族都有着丰富的几何学知识。恩格斯曾说，数学是根据人的需要产生的，是从丈量土地面积、计算器具容积中产生的，是一种有目的改造客观世界的活动中产生的。所以，赵爽的数学思想也来源于实际，以满足于客观世界的需要。
2.吴国推行发展教育的文教政策。根据史料考证，赵爽为三国时期吴国人，由于当时吴国为战事需要采取了一系列发展生产的措施，使得社会经济有了较大的进步。同时，在思想及文学领域也出现了秦汉以来前所未有的局面，其中数学思想的进展尤为明显。当时的吴国推行了发展数学教育的文教政策，孙权于黄武三年推行“改四分，用乾象历，诏令教学诸子”.永安二年，孙休推行教学为先的政策“,道世冶性，为时养器”.当时吴国推行的这些教育建国，培养人才的措施，极大推进了社会的发展及经济的繁荣。当时，吴国还在地方设立官学“,济阳人笃学好古，瑜厚之，使百人受业，遂立学官”.虽然吴国“学官”措施推行并没多久，但当时确实出现许多的数学及天文人才，如陈驰善九章术，与汉代许商、王柔并称。除官学之外，吴国也非常流行私学，如“虞凡讲学不倦，门徒数百人，又为《老子》、《荀子》、《国语》训注”.吴国的私学者多潜心学术，热爱教学工作，对教育事业全心投入，《周髀算经注》中就有“后学之徒知数皆然”[2]73.
二、赵爽的数学哲学思想与应用价值。
1.“数形”与“归纳、演绎”统一的思想。赵爽在《周髀算经注》中提到“:数之法理出于方圆，方圆者天地之形状，阴阳之数，陈方圆之形，以见其象，因奇偶之数，以制其法。物有方圆，数有奇偶，天动为圆其数奇，地静为方其数偶。”所以，赵爽的天地之形含有几何方面的内容，同时，数之法出于圆方也含有代数思想。就是说，通过数的计算，着重考察图形中数的关系，通过得出的数值来解决实际生活问题。同时，也可以通过“形”的直观解决数的算法，这就将数形完美结合在一起。其实，数与形的结合并不是偶然产生的，中国作为一个农业大国，在丈量土地、储存粮食、开挖水渠时都会遇到大量关于面积、体积的问题，如用代数方法解决几何问题将起到事半功倍的效果。实际上，数与形并不是完全分开的，在计算长度、面积的时候就很容易将两者联系起来。赵爽的《周髀算经注》便体现这种数形统一的思想。
归纳是将特殊或个别的事物中概括出一般性的结论，而演绎则是由一般原理推出个别或特殊事物的结论。归纳与演绎是人们认识事物过程中相辅相成的两个方面。赵爽的数学思想中包含归纳、演绎统一的思想，在其《周髀算经》注文中提到“:善哉，言明晓之意，所谓问一事而万事达。”这里的“问一事而万事达”就是从个别到一般的归纳思维过程。他还曾提到“:引而伸之，触类而长之，天下事毕矣。”[3]77这又从一般原理引申出个别的演绎思维过程。所以，赵爽在数学研究中将归纳与演绎两者统一起来“,勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即为弦”.这就是从个别到一般的推理过程。所以，验证数学命题的真伪就需要通过演绎推理来实现。赵爽在其《勾股圆方图注》中有十多个命题，并全部采用演绎推理的方式给出了证明。
2.“变与不变”的思维方法及“实用”的数学思想。客观事物是不断发生变化的，且事物的大多数性质也会发生改变，而有些性质却相对稳定，这就是变与不变的性质，即事物的相对稳定性。赵爽在证明勾股定理的过程中，就是将圆形进行“割补”,其面积却保持不变，这即为“变与不变”数学思维，赵爽通过“割补”的方式证明勾股定理是非常巧妙的，他说“形诡而量均，体殊而数齐”,即体形虽然有差异，但数量是不变的。将一个形体首先分割为有限的分体，然后再拼凑起来，便成为一个与它等面积的新个体。赵爽的这一“变与不变”思想对中国古代几何的发展有着重要影响。刘徽在其《九章算术注》中将这种出入相补的思想视作以后“演段法”的基础。中国传统数学的平面几何问题一般都采用这种“出入相补”的拼凑方法进行处理。直到 12 世纪，国外才有关于赵爽这种“割补”方法的证明，由当时印度数学家巴斯卡兰给出，晚于赵爽的近九百多年。
数学来源于实际并应用于实际，作为一门研究空间形式与数量关系的科学，数学有广泛的用途。中国古代传统数学是以实用为目的的，其内容大多与生产及生活实际相关，并广泛用于生产生活各方面，这也使得中国传统数学长期处于世界数学的领先地位。赵爽也有着深厚的数学实用思想，他在《周髀算经》的注文中提到“:万事万物圆方用矣，大匠造制而有规矩。”所以，他明确指出圆方的设计可用于万事万物“,大匠造制”则充分说明数学应用的广泛性及其价值意义。
三、赵爽的数学成就及重要历史贡献。
1.《周髀算经注》透析了数学之理。南宋数学家称赵爽为“乘勾股竹黄之实，以近开方之妙，百世之下莫人能及，算学宗师也”.赵爽在他的《周髀算经注》中详细注解了勾股术法之妙，透析了数学教育之理。根据史料考证，赵爽曾经深入研究了刘洪撰写的《乾象历》及天文学家张衡的《灵宪》等着作，并多次谈及算学之术。在出入相补方面，图形的总面积总保持不变，这就是赵爽创立的“割补之术”.同时，他还为《九章算术》进行了注释，并将其归纳为出入相补原理，这也成为后世“演段术”形成的重要基础。另外，赵爽还在其注文中提到与韦达定理类似的结果，并进一步研究一元二次方程的解法，证明了与其相关的二十多个命题。其实，赵爽还是一个未脱离体力劳动的数学家，他曾说自己一直在从事体力劳动的时候进行《周髀》的研究工作，最终完成了《周髀算经注》。该作品大约成书于前 100 年前后，是一部关于构图定律、分数运算的数学着作。在《周髀算经注》中，赵爽对原作的经文进行逐段逐句的解读，其中尤以勾股圆方图最为精彩，简练的五百多字高度概括了《周髀算经》的主要内容。
2.推动中国传统数学思想的发展。在相当长的时间内，中国的数学长期处于世界领先地位。数学作为一门研究空间与数量关系的学科，有着现实的应用需要，中国传统数学体系就是在此基础上建立的，并广泛应用于社会实际。赵爽的数学思想极大地推动了中国传统数学的发展，同时在传统数学思想的影响下，赵爽在其《周髀算经》的注文中多次证明了数学的实际操作意义及应用的广泛性。赵爽曾指出，为了有效解决实际问题，通过考察图形中的数量关系及运算关系，就可以得到人们所需要的数值。赵爽认为“:夫高者莫大于天，厚广者莫广于地，皆可导仪验其长短。”他将自然界看作是一个相互联系的物质集合，并可以通过仪器间接测量出来。赵爽认为数学能应用于天地之道，神明之德，这是其承袭中国历代数学家思想的反映。他对商高的测量方法中提到“:以水绳之，慎毫厘之差，防千里之失，既可追求情理，又可造制画方。”[4]57这段内容记述了赵爽通过勾股定理进行测量的方法，充分体现其经世致用的实用思想。
3.数学与数学教育方面的创新。《周髀算经》采用问答的形式，由此可知其属于数学教材，而赵爽的《周髀算经注》则属于数学教材的指导用书，他在《周髀算经注》中的“统叙群伦，裁制万物”思想，展示其先进的数学教育思想。《周髀算经》中有对勾股定理经典的描述，即“勾广三，股修四，径隅五”.然而，在赵爽的注文中则给出了勾股定理的一般形式，即“勾股各自乘，并之为弦实”,这就将数学知识推广开来。赵爽继承了孔子的启发式教学模式“,凡教之道， 举一隅，反之以三也”.他还根据自己多年的数学教学经验，总结出数学教育的一般规律，最后达到“启发”的效果。其实，学习是一项艰苦的智力劳动，只有学思结合才能最终完成“,不精思，不学习，则言吾无隐”.所以，赵爽一直反对反而不思的学习方式，并提倡“精思、善思、深思”,这样才能开阔思维。“言吾无隐”便是引用孔子的教学思想，即“尽其知”,毫无隐瞒。所以，赵爽还是一位“不隐其学”的数学教育家。赵爽的“熟思”理念，就是强调要发展学生的思维，调动其学习的积极性，同时引导学生独立思考。由此可知，赵爽不但在数学上有着极高的造诣，而且还是在数学教育上有着较高水平的数学大师。在数学教育上，赵爽的“贯幽人微，钩深致远”思想，便是对数学学习过程及学生心理状态的把握。他总结的“审问、累思、所学、通类、精习”五个学习环节是一种由感性到理性的认识过程，这也是儒家学习论的核心。
参考文献：
[1]唐斌如。赵爽的数学哲学思想[J].南昌教育学院学报，2009(4)。
[2]陈德华。中国古代算家的成就与治学思想[M].云南大学出版社，1998(3)。
[3]童建华。算学宗师赵爽的数学教育思想[J].西南民族大学学报，2009(1)。
[4]郭树春。中国科学技术典籍通汇[M].河南教育出版社，2005(5)。
大学数学方面论文范文篇2
浅谈数学概念在数学中的备课
摘要：浅谈数学概念课在教学的备课中应做好两点工作：1、吃透教材;2、把握住“概念教学”的三个环节。
关键词：通读教材;阅读资料;三个环节
中学数学知识可分成三大部分：数学概念、数学命题和数学论证。对“数学概念”的理解程度直接影响着另外两大部分数学知识的学习。关于这个认识，我们数学教师应有同感，也应付诸于数学实践，更应该围绕“数学概念”教学的程序做大量的准备工作。本文仅以“学术概念”的教学备课这方面，谈一下个人所见，仅供参考。
中学“数学概念”的备课工作，应重点解决一下两个问题：
1通读教材，广泛阅读相关资料，为“吃透”教材理解、掌握概念，打下坚实基础。
备课中，首先通读教材，是数学概念教学的必要条件，教师须自觉地依据教材、大纲进行教学。对教材中出现的知识点，表述方法等相关内容，如有异议，就必须以诚恳的态度，坚强的毅力去研究、探索，充分理解教材中的意图。例如：关于“绝对值”的概念。数学教师都有一种直观通俗的理解。所谓绝对值，就是去掉性质符号的数。如+4(或-4)的绝对值，就是去掉“+4(或-4)”前的“+”或“-”号的数4。同时教材又用黑体字定义“一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离”。这是绝对值的几何意义，而后又从代数的角度做进一步的说明：(1)正数的绝对值是它本身(2)负数的绝对值是它的相反数(3)零的绝对是是零;并利用字母表示数，用式子给出了绝对值的代数形式的定义。而以前的教材是通过联系生活的实例直接引出绝对值的代数意义，这种“代数定义”的说法教材中并没有，这是教参中“指出”的。“指出”的言外之意是指绝对值还有个几何定义。现行教材便采取的是这个几何定义。前后教材对绝对值概念的解释是不同的，但对现行教材的意图稍加思索，自然是便于学生接受和理解绝对值的概念。因此，教师在备课时应重点向学生阐明几何意义。以便学生在今后的学习中应用。
另外，对于每一个重点，难点概念，教师应尽量做到“博览群书”，也只有这样，才能真正具备驾驭教材的能力，也没有一个不是受益于广泛阅读的教师。因此，教师应广泛阅读相关资料，拓宽知识视野，注重知识积累，发挥自己的特长，以不断适应新的教育现实。
2把握住“概念教学”的三个环节
数学概念的教学在经过“博览”步骤之后，应及时转入“精取”阶段，把握好“概念教学”的三个环节。
第一：准确地掌握概念的内涵与外延。所谓内涵，就是概念的基本属性。它的本质属性无疑是核心，是区别于其他事物的根本。没有对概念本质属性的深刻理解和牢固记忆，就谈不上掌握和理解概念。例如：关于“等式”这一概念，教材上讲“表示相等关系的式子叫等式”，教材上对之并没有进一步的说明，但我们备课时一定要搞清等式的本质。它也是“判断一件事情的语句”，就其本质而言，一个等式就是一个命题，它有真假之分，等式也有成立的等式，也有不成立的等式。这一点对学生来讲更难理解，教师应下功夫向学生阐述清楚。否则会影响学生学习其他知识。
内涵的探究重要，外延的研究也不可缺少。所谓外延，是指概念所涉及对象的范围界限，两者结合起来，有主次分明之别。相互补充，才能全面实现明确概念的目的。因此在讲解概念内涵的同时，也应及时研究其外延，并对其外延不同程度的给出定义。例如：“代数式”这个概念，教材上先后从其内涵上定义了代数式、单项式、多项式，这事实上就其外延而讲它们都是整式。但作为教师应考虑到代数式分别有有理式和无理式两大类，有理式可分为整式和分式两类，这个外延分类的知识结构要牢固掌握，作为教师应站在较高的角度把握知识结构，以便为以后学生学习其他知识埋下伏笔，同时讲玩某一概念的本质属性后，应及时总结，引导学生从外延的角度进一步搞清概念之间的联系。
第二：搞清概念在其所处知识体系中的地位及作用，也就是它所属的类型，它与其他概念之间的联系等。中学数学之间的联系一般是从其外延开始，发生了纵向上的主从关系和横向上的同一交叉，并列对立等逻辑关系。这些逻辑关系的存在是不可忽视的。例如：点和圆、直线和圆、圆和圆、多边形和圆之间的关系，就是一种很系统的图形之间的位置关系。这种系统的位置关系教师在备课时若不能以系统的观点去认真备课，那么无论从哪方面来讲，都是没有吃透教材，也不会产生最佳教学效果。
第三，准确地掌握“数学概念”在定义、名称及符号在不同层次的识记信息。
每个数学概念都有定义和名称，多数情况下还有它自己的符号。概念的定义是揭示其内涵的语言表达方式，名称是人们在使用概念时对它的简称。符号则是人们书写或记录概念时所采用的一种简记标志。一个概念有了自己的意义，可使人们对概念有一个赖以进行判断推理和交流思想的基准和形象。有了名称不但表述起来语言精练，而且简明易懂，有了符号，不但书写方便，而且直观醒目。总之，三者都是直接或间接反映或表述同一内容——概念的本质属性的，是密不可分的。在概念教学及备课过程中，教师必须掌握好这三种识记信息。以促使某些数学能力的形成和发展。