2017年济南数学中考模拟真题及答案(2)
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.
16.，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D(P、D两点不重合)两点间的最短距离为 2 ﹣2 .
【考点】L8：菱形的性质;KI：等腰三角形的判定;KK：等边三角形的性质.
【分析】分三种情形讨论①若以边BC为底.②若以边PC为底.③若以边PB为底.分别求出PD的最小值，即可判断.
【解答】解：①若以边BC为底，则BC垂直平分线上(在菱形的边及其内部)的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点P与点A重合时，PD值最小，为2;
②若以边PC为底，∠PBC为顶角时，以点B为圆心，BC长为半径作圆，与BD相交于一点，则弧AC(除点C外)上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在BD上时，PD最小，最小值为2√3﹣2;
③若以边PB为底，∠PCB为顶角，以点C为圆心，BC为半径作圆，则弧BD上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点D重合时，PD最小，显然不满足题意，故此种情况不存在;
综上所述，PD的最小值为2 ﹣2.
【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.
三、解答题(本大题共9小题，共72分)
17.(10分)(2017•呼和浩特一模)计算、求值：
(1)计算：| ﹣2|+( )﹣1﹣( +1)( ﹣1);
(2)已知单项式2xm﹣1yn+3与﹣xny2m是同类项，求m，n的值.
【考点】79：二次根式的混合运算;34：同类项;6F：负整数指数幂.
【分析】(1)利用绝对值的定义结合平方差公式计算得出答案;
(2)直接利用同类项的定义分析得出答案.
【解答】解：(1)| ﹣2|+( )﹣1﹣( +1)( ﹣1)
=2﹣ +2﹣(5﹣1)
=﹣ ;
(2)∵单项式2xm﹣1yn+3与﹣xny2m是同类项，
∴ ，
解得： .
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算以及同类项定义，正确化简各数是解题关键.
18.，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F
(1)求证：EF=DE;
(2)若AC=BC，判断四边形ADCF的形状.
【考点】LC：矩形的判定;KD：全等三角形的判定与性质;KX：三角形中位线定理.
【分析】(1)首先根据三角形的中位线定理得出AE=EC，然后根据CF∥BD得出∠ADE=∠F，继而根据AAS证得△ADE≌△CFE，最后根据全等三角形的性质即可推出EF=DE;
(2)首先证得四边形ADCF是平行四边形、四边形DBCF也为平行四边形，从而得到BC=DF，然后根据AC=BC得到AC=DE，从而得到四边形ADCF是矩形.
【解答】解：(1)∵DE是△ABC的中位线，
∴E为AC中点，
∴AE=EC，
∵CF∥BD，
∴∠ADE=∠F，
在△ADE和△CFE中，
∵ ，
∴△ADE≌△CFE(AAS)，
∴DE=FE.
(2)解：四边形ADCF是矩形.
∵DE=FE，AE=AC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD=BD，
∴BD=CF，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴BC=DF，
∵AC=BC，
∴AC=DE，
∴四边形ADCF是正方形.
【点评】本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理的知识，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，难度不大.
19.(10分)(2017•呼和浩特一模)为了解“足球进校园”活动开展情况，某中学利用体育课进行了定点射门测试，每人射门5次，所有班级测试结束后，随机抽取了某班学生的射门情况作为样本，对进球的人数进行整理后，绘制了不完整的统计图表，该班女生有22人，女生进球个数的众数为2，中位数为3.
女生进球个数的统计表
进球数(个) 人数
0 1
1 2
2 x
3 y
4 4
5 2
(1)求这个班级的男生人数，补全条形统计图，并计算出扇形统计图中进2个球的扇形的圆心角度数;
(2)写出女生进球个数统计表中x，y的值;
(3)若该校共有学生1880人，请你估计全校进球数不低于3个的学生大约多少人?
【考点】VC：条形统计图;V5：用样本估计总体;VB：扇形统计图;W4：中位数;W5：众数.
【分析】(1)根据进球数为3个的人数除以占的百分比求出男生总人数即可;求出进球数为4个的人数，以及进球数为2个的圆心角度数，补全条形统计图即可;
(2)由题意得，x+y=22﹣1﹣2﹣4﹣2=13，由于女生进球个数的众数为2，中位数为3，于是得到结论;
(3)求出进球数不低于3个的百分比，乘以1880即可得到结果.
【解答】解：(1)这个班级的男生人数为6÷24%=25(人)，
则这个班级的男生人数为25人;男生进球数为4个的人数为25﹣(1+2+5+6+4)=7(人)，进2个球的扇形圆心角度数为360°× =72°;
补全条形统计图，所示：
(2)由题意得，x+y=22﹣1﹣2﹣4﹣2=13，
∵n女生进球个数的众数为2，中位数为3，
∴x=7，y=6;
(3)根据题意得：47个学生中女生进球个数为6+4+2=12;男生进球数为6+7+4=17，
∴1880× =1160(人)，
则全校进球数不低于3个的学生大约有1160人.
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键.
20.所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行30米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度.(结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可)
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题.
【分析】作CE⊥AB于E.由题意可以假设CE=BE=x，在Rt△CAE中，求出AE，根据AB=AE﹣BE，列出方程即可解决问题.
【解答】解：作CE⊥AB于E.
由题意：∠CAE=31°，∠CBE=45°，AB=30，
在Rt△CBE中，∵∠CEB=90°，∠CBE=45°，
∴可以假设CE=BE=x，
在Rt△CAE中，∵∠CEA=90°，
∴AE= = ，
∵AB=AE﹣BE= ﹣x=30，
∴x= ，
答：这条河的宽度为 m.
【点评】本题考查解直角三角形、方位角、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型.
21.已知关于x的不等式组 有解，求实数a的取值范围，并写出该不等式组的解集.
【考点】CB：解一元一次不等式组.
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.
【解答】解：解不等式3x﹣a≥0，得：x≥ ，
解不等式 (x﹣2)>3x+4，得：x<﹣2，
由题意得： <﹣2，
解得：a<﹣6，
∴不等式组的解集为 ≤x<﹣2.
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
22.在直角坐标系中，直线y=kx+1(k≠0)与双曲线y= (x>0)相交于点P(1，m)
(1)求k的值;
(2)若双曲线上存在一点Q与点P关于直线y=x对称，直线y=kx+1与x轴交于点A，求△APQ的面积.
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】(1)将P的坐标代入双曲线中求出m的值，然后将P的坐标代入直线解析式中求出k的值.
(2)求出P关于y=x的对称点Q，然后利用待定系数法求出直线PQ的解析式，然后求出点B的坐标，最后利用S△APQ=S△APB﹣S△AQB即可求出答案.
【解答】解：(1)将x=1代入y= ，
∴y=2，
∴P(1，2)
∴将P(1，2)代入y=kx+1
∴k=1，
(2)易知P(1，2)关于直线y=x的对称点为Q(2，1)
设直线PQ的解析式为：y=kx+b，
将P、Q的坐标代入上式，
∴
解得：
∴直线PQ的解析式为：y=﹣x+3
∴令y=0代入y=﹣x+3
∴x=3，
∴S△APQ=S△APB﹣S△AQB
= ×4×(2﹣1)
=2
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是熟练运用待定系数法，本题属于中等题型.
23.春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元;购进甲商品3件和乙商品2件共需230元.
(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元?
(2)商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润.
【考点】FH：一次函数的应用;9A：二元一次方程组的应用;C9：一元一次不等式的应用.
【分析】(1)根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题;
(2)根据题意可以得到利润与甲种商品的关系，由甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，可以得到甲种商品的取值范围，从而可以求得获利最大的进货方案，以及最大利润.
【解答】解：(1)设甲、乙两种商品每件的进价分别是x元、y元，
，
解得， ，
即甲、乙两种商品每件的进价分别是30元、70元;
(2)设购买甲种商品a件，获利为w元，
w=(40﹣30)a+(90﹣70)(100﹣a)=﹣10a+2000，
∵a≥4(100﹣a)，
解得，a≥80，
∴当a=80时，w取得最大值，此时w=1200，
即获利最大的进货方案是购买甲种商品80件，乙种商品20件，最大利润是1200元.
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和不等式的性质解答问题.
24.，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G.
求证：
(1)FC=FG;
(2)AB2=BC•BG.
【考点】S9：相似三角形的判定与性质;M2：垂径定理;MC：切线的性质.
【分析】(1)由平行线的性质得出EF⊥AD，由线段垂直平分线的性质得出FA=FD，由等腰三角形的性质得出∠FAD=∠D，证出∠DCB=∠G，由对顶角相等得出∠GCF=∠G，即可得出结论;
(2)连接AC，由圆周角定理证出AC是⊙O的直径，由弦切角定理得出∠DCB=∠CAB，证出∠CAB=∠G，再由∠CBA=∠GBA=90°，证明△ABC∽△GBA，得出对应边成比例，即可得出结论.
【解答】证明：(1)∵EF∥BC，AB⊥BG，
∴EF⊥AD，
∵E是AD的中点，
∴FA=FD，
∴∠FAD=∠D，
∵GB⊥AB，
∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°，
∴∠DCB=∠G，
∵∠DCB=∠GCF，
∴∠GCF=∠G
，∴FC=FG;
(2)连接AC，所示：
∵AB⊥BG，
∴AC是⊙O的直径，
∵FD是⊙O的切线，切点为C，
∴∠DCB=∠CAB，
∵∠DCB=∠G，
∴∠CAB=∠G，
∵∠CBA=∠GBA=90°，
∴△ABC∽△GBA，
∴ = ，
∴AB2=BC•BG.
【点评】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、弦切角定理等知识;熟练掌握圆周角定理和弦切角定理，证明三角形相似是解决问题(2)的关键.
25.(10分)(2017•呼和浩特一模)抛物线y=ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点C，点P为抛物线上一点，且位于x轴下方.
(1)1，若P(1，﹣3)，B(4，0).D是抛物线上一点，满足∠DPO=∠POB，且D与B分布位于直线OP的两侧，求点C与点D的坐标;
(2)2，A，B是抛物线y=ax2+c与x轴的两个交点，直线PA，PB与y轴分别交于E，F两点，当点P在x轴下方的抛物线上运动时， 是否为定值?若是，试求出该定值;若不是，请说明理由(记OA=OB=t)
【考点】HF：二次函数综合题.
【分析】(1)根据待定系数法求函数解析式，可得答案;根据平行线的判定，可得PD∥OB，根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得D点坐标;
(2)根据待定系数法，可得E、F点的坐标，根据分式的性质，可得答案.
【解答】解：(1)将P(1，﹣3)，B(4，0)代入y=ax2+c，得
，
解得 ，
抛物线的解析式为y= x2﹣ .
∴C(0，﹣ )
1，
当点D在OP左侧时，
由∠DPO=∠POB，得
DP∥OB，
D与P关于y轴对称，P(1，﹣3)，
得D(﹣1，﹣3);
(2)点P运动时， 是定值，定值为2，理由如下：
作PQ⊥AB于Q点，设P(m，am2+c)，A(﹣t，0)，B(t，0)，则at2+c=0，c=﹣at2.
∵PQ∥OF，
∴ = ，
∴OF= =﹣ = =amt+at2.
同理OE=﹣amt+at2.
∴OE+OF=2at2=﹣2c=2OC.
∴ =2.
【点评】本题考查了二次函数综合题，①利用待定系数法求函数解析式;②利用函数值相等的点关于对称轴对称得出D点坐标是解题关键;(2)利用待定系数法求出E、F点坐标是解题关键.
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