2017年呼和浩特市数学中考模拟试卷(2)
∴ a2=BH(BH+a)，
∴BH= a或BH= a(舍去)，
∵OE∥DB，OE=OH，
∴△OEH∽△BDH，
∴ = ，
∴BH=BD，CD=BC+BD=a+ a= a.
故答案为： a.
三、解答题(共86分，解答应写成文字说明、证明过程、演算步骤)
17.(1)计算：2sin60°﹣( )﹣1+( ﹣1)0
(2)先化简，再求值：(1﹣ )÷ ，其中a=2+ .
【考点】6D：分式的化简求值;2C：实数的运算;6E：零指数幂;6F：负整数指数幂;T5：特殊角的三角函数值.
【分析】(1)原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果;
(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值.
【解答】解：(1)原式=2× ﹣2+1= ﹣1;
(2)原式= • = ，
当a=2+ 时，原式= = +1.
18.某校为了更好地开展球类运动，体育组决定用1600元购进足球8个和篮球14个，并且篮球的单价比足球的单价多20元，请解答下列问题：
(1)求出足球和篮球的单价;
(2)若学校欲用不超过3240元，且不少于3200元再次购进两种球50个，求出有哪几种购买方案?
(3)在(2)的条件下，若已知足球的进价为50元，篮球的进价为65元，则在第二次购买方案中，哪种方案商家获利最多?
【考点】CE：一元一次不等式组的应用;8A：一元一次方程的应用.
【分析】(1)设足球的单价为x元，则篮球的单价为(x+20)元，则根据所花的钱数为1600元，可得出方程，解出即可;
(2)根据题意所述的不等关系：不超过3240元，且不少于3200元，等量关系：两种球共50个，可得出不等式组，解出即可;
(3)分别求出三种方案的利润，继而比较可得出答案.
【解答】解：(1)设足球的单价为x元，则篮球的单价为(x+20)元，
根据题意，得8x+14(x+20)=1600，
解得：x=60，x+20=80.
即足球的单价为60元，则篮球的单价为80元;
(2)设购进足球y个，则购进篮球(50﹣y)个.
根据题意，得 ，
解得： ，
∵y为整数，
∴y=38，39，40.
当y=38，50﹣y=12;
当y=39，50﹣y=11;
当y=40，50﹣y=10.
故有三种方案：
方案一：购进足球38个，则购进篮球12个;
方案二：购进足球39个，则购进篮球11个;
方案三：购进足球40个，则购进篮球10个;
(3)商家售方案一的利润：38(60﹣50)+12(80﹣65)=560(元);
商家售方案二的利润：39(60﹣50)+11(80﹣65)=555(元);
商家售方案三的利润：40(60﹣50)+10(80﹣65)=550(元).
故第二次购买方案中，方案一商家获利最多.
19.某市为了增强学生体质，全面实施“学生饮用奶”营养工程.某品牌牛奶供应商提供了原味、草莓味、菠萝味、香橙味、核桃味五种口味的牛奶提供学生饮用.浠马中学为了了解学生对不同口味牛奶的喜好，对全校订购牛奶的学生进行了随机调查(每盒各种口味牛奶的体积相同)，绘制了两张不完整的人数统计图：
(1)本次被调查的学生有 200 名;
(2)补全上面的条形统计图1，并计算出喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图中所占圆心角的度数;
(3)该校共有1200名学生订购了该品牌的牛奶，牛奶供应商每天只为每名订购牛奶的学生配送一盒牛奶.要使学生每天都喝到自己喜好的口味的牛奶，牛奶供应商每天送往该校的牛奶中，草莓味要比原味多送多少盒?
【考点】VC：条形统计图;VB：扇形统计图.
【分析】(1)喜好“核桃味”牛奶的学生人数除以它所占的百分比即可得本次被调查的学生人数;
(2)用本次被调查的学生的总人数减去喜好原味、草莓味、菠萝味、核桃味的人数得出喜好香橙味的人数，补全条形统计图即可，用喜好“菠萝味”牛奶的学生人数除以总人数再乘以360°，即可得喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图2中所占圆心角的度数;
(3)用喜好草莓味的人数占的百分比减去喜好原味的人数占的百分比，再乘以该校的总人数即可.
【解答】解：(1)10÷5%=200(名)
答：本次被调查的学生有200名，
故答案为：200;
(2)200﹣38﹣62﹣50﹣10=40(名)，
条形统计图如下：
=90°，
答：喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图2中所占圆心角的度数为90°;
(3)1200×( )=144(盒)，
答：草莓味要比原味多送144盒.
20.有A、B两个大小均匀的转盘，其中A转盘被分成3等份，B转盘被分成4等份，并在每一份内标上数字.小明和小红同时各转动其中一个转盘，转盘停止后(当指针指在边界线时视为无效，重转)，若将A转盘指针指向的数字记作一次函数表达式中的k，将B转盘指针指向的数字记作一次函数表达式中的b.
(1)请用列表或画树状图的方法写出所有的可能;
(2)求一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限的概率.
【考点】X6：列表法与树状图法;F7：一次函数图象与系数的关系.
【分析】(1)列表得出所有等可能的情况数即可;
(2)找出满足一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限的情况，即可求出所求的概率.
【解答】解：(1)列表如下：
k
b ﹣1 ﹣2 3
﹣1 (﹣1，﹣1) (﹣2，﹣1) (3，﹣1)
﹣2 (﹣1，﹣2) (﹣2，﹣2) (3，﹣2)
3 (﹣1，3) (﹣2，3) (3，3)
4 (﹣1，4) (﹣2，4) (3，4)
所有等可能的情况有12种;
(2)一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限时，k<0，b>0，情况有4种，
则P= = .
21.，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)证明：四边形ACDE是平行四边形;
(2)若AC=8，BD=6，求△ADE的周长.
【考点】L8：菱形的性质;L7：平行四边形的判定与性质.
【分析】(1)根据平行四边形的判定证明即可;
(2)利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可.
【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴AE∥CD，∠AOB=90°，
∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，
∴∠AOB=∠EDB，
∴DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形;
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE=CD=5，DE=AC=8，
∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18.
22.，已知A(﹣4， )，B(﹣1，2)是一次函数y=kx+b与反比例函数 (m≠0，m<0)图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D.
(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值?
(2)求一次函数解析式及m的值;
(3)P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标.
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】(1)观察函数图象得到当﹣4
(2)先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入y= 可计算出m的值;
(3)设P点坐标为(t， t+ )，利用三角形面积公式可得到 • •(t+4)= •1•(2﹣ t﹣ )，解方程得到t=﹣ ，从而可确定P点坐标.
【解答】解：(1)当﹣4
(2)把A(﹣4， )，B(﹣1，2)代入y=kx+b得 ，
解得 ，
所以一次函数解析式为y= x+ ，
把B(﹣1，2)代入y= 得m=﹣1×2=﹣2;
(3)设P点坐标为(t， t+ )，
∵△PCA和△PDB面积相等，
∴ • •(t+4)= •1•(2﹣ t﹣ )，即得t=﹣ ，
∴P点坐标为(﹣ ， ).
23.，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC，交DC的延长线于点E.
(1)求证：△ABC∽△DEB;
(2)求证：BE是⊙O的切线;
(3)求DE的长.
【考点】MD：切线的判定;S9：相似三角形的判定与性质.
【分析】(1)根据BDE=∠CAB(圆周角定理)且∠BED=∠CBA=90°即可得出结论;
(2)连接OB，OD，证明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，继而判断OB⊥DE，可得出结论.
(3)根据△BED∽△CBA，利用对应边成比例的性质可求出DE的长度.
【解答】(1)BDE=∠CAB(圆周角定理)且∠BED=∠CBA=90°，
∴△ABC∽△DEB;
(2)证明：连结OB，OD，
在△ABO和△DBO中，
，
∴△ABO≌△DBO(SSS)，
∴∠DBO=∠ABO，
∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，
∴∠DBO=∠BDC，
∴OB∥ED，
∵BE⊥ED，
∴EB⊥BO，
∴OB⊥BE，
∴BE是⊙O的切线.
(3)∵△BED∽△CBA，
∴ ，
即 = ，
解得：DE= .
24.已知，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与y轴交于点C(0，4)与x轴交于点A、B，点B(4，0)，抛物线的对称轴为x=1.直线AD交抛物线于点D(2，m).
(1)求二次函数的解析式并写出D点坐标;
(2)点E是BD的中点，点Q是线段AB上一动点，当△QBE和△ABD相似时，求点Q的坐标;
(3)抛物线与y轴交于点C，直线AD与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形CMNF周长取最小值时，求出满足条件的点M和点N的坐标.
【考点】HF：二次函数综合题.
【分析】(1)首先运用待定系数法求出二次函数的解析式，然后把点D(2，m)代入二次函数的解析式，就可求出点D的坐标;
(2)过点D作DH⊥AB于点H，1，根据勾股定理可求出BD，易求出点A的坐标，从而得到AB长，然后分两种情况：①△QBE∽△ABD，②△QBE∽△DBA讨论，运用相似三角形的性质求出BQ，从而得到OQ，即可得到点Q的坐标;
(3)根据待定系数法得到直线AD的解析式为：y=x+2，过点F作关于x轴的对称点F′，即F′(0，﹣2)，连接DF′交对称轴于M′，x轴于N′，由条件可知，点C，D是关于对称轴x=1对称，则CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2 ，得到四边形CFNM的最短周长为：2+2 时直线DF′的解析式为：y=3x﹣2，从而得到满足条件的点M和点N的坐标.
【解答】解：(1)由题可得： ，
解得： ，
则二次函数的解析式为y=﹣ x2+x+4.
∵点D(2，m)在抛物线上，
∴m=﹣ ×22+2+4=4，
∴点D的坐标为(2，4);
(2)过点D作DH⊥AB于点H，1，
∵点D(2，4)，点B(4，0)，
∴DH=4，OH=2，OB=4，
∴BH=2，∴DB= =2 .
∵点E为DB的中点，
∴BE= BD= .
令y=0，得﹣ x2+x+4=0，
解得：x1=4，x2=﹣2，
∴点A为(﹣2，0)，
∴AB=4﹣(﹣2)=6.
①若△QBE∽△ABD，
则 = ，
∴ = ，
解得：BQ=3，
∴OQ=OB﹣BQ=4﹣3=1，
∴点Q的坐标为(1，0);
②若△QBE∽△DBA，
则 = ，
∴ = ，
∴BQ= ，
∴OQ=OB﹣BQ=4﹣ = ，
∴点Q的坐标为( ，0).
综上所述：点Q的坐标为(1，0)或( ，0);
(3)2，由A(﹣2，0)，D(2，4)，
可求得直线AD的解析式为：y=x+2，
即点F的坐标为：F(0，2)，
过点F作关于x轴的对称点F′，即F′(0，﹣2)，连接DF′交对称轴于M′，x轴于N′，
由条件可知，点C，D是关于对称轴x=1对称，
则CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2 ，
则四边形CFNM的周长=CF+FN+NM+MC≥CF+FN′+M′N′+M′C，
即四边形CFNM的最短周长为：2+2 .
此时直线DF′的解析式为：y=3x﹣2，
所以存在点N的坐标为N( ，0)，点M的坐标为M(1，1).
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