2017年福建省三明中考数学模拟真题(2)
20.
解：设CD=x米.
在Rt△ACD中， ，
则 ，
∴ ;
在Rt△BCD中，
tan48°= ，
则 ，
∴ .
∵AD+BD=AB，
∴ ，
解得：x≈43.
答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米.
21.
(1)证明：∵AB是⊙O的切直径，
∴∠ADB=90°，
又∵∠BAD=∠BED，∠BED=∠DBC，
∴∠BAD=∠DBC，
∴∠BAD+∠ABD=∠DBC+∠ABD=90°，
∴∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切线;
(2)解：∵∠BAD=∠DBC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴ = ，即BC2=AC•CD=(AD+CD)•CD=10，
∴BC= .
五、解答题
22.
解：(1)过点C作CG⊥OA于点G，
∵点C是等边△OAB的边OB的中点，
∴OC=2，∠AOB=60°，
∴OG=1，CG=OG•tan60°=1• = ，
∴点C的坐标是(1， )，
由 = ，得：k= ，
∴该双曲线所表示的函数解析式为y= ;
(2)过点D作DH⊥AF于点H，设AH=a，则DH= a.
∴点D的坐标为(4+a， )，
∵点D是双曲线y= 上的点，
由xy= ，得 (4+a)= ，
即：a2+4a﹣1=0，
解得：a1= ﹣2，a2=﹣ ﹣2(舍去)，
∴AD=2AH=2 ﹣4，
∴等边△AEF的边长是2AD=4 ﹣8.
23.
解：(1)依题意画出图形，如答图1所示：
由题意，得∠CFB=60°，FP为角平分线，则∠CFP=30°，
∴CF=BC•tan30°=3× = ，
∴CP=CF•tan∠CFP= =1.
过点A作AG⊥BC于点G，则AG= BC= ，
∴PG=CG﹣CP= ﹣1= .
在Rt△APG中，由勾股定理得：
AP= = .
(2)由(1)可知，FC= .
如答图2所示，以点A为圆心，以FC= 长为半径画弧，与BC交于点P1、P2，则AP1=AP2= .
过点A过AG⊥BC于点G，则AG= BC= .
在Rt△AGP1中，cos∠P1AG= = ;
∴∠P1AG=30°，
∴∠P1AB=45°﹣30°=15°;
同理求得，∠P2AG=30°，∠P2AB=45°+30°=75°.
∴∠PAB的度数为15°或75°.
(3)如答图3，
∵以A、P、F、Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边FC上，
∴AP∥QF，
∴∠APC=∠BCF，
∵∠BCF=90°，
∴∠APC=90°，
在R△ABC中，∠ABC=45°，BC=3，
∴AC=AB= ，
∴AP=BP=CP= BC= ，
∴S平行四边形APFQ=AP×PC= × = ，
即：点P运动到BC中点的位置时，以A、P、F、Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边FC上，且面积是 .
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