2017连云港中考数学练习试题答案(2)
2017连云港中考数学练习真题答案
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1.﹣5的倒数是( )
A.5 B.﹣5 C. D.﹣
【考点】倒数.
【分析】根据倒数的定义可直接解答.
【解答】解：﹣5的倒数是﹣ .
故选：D.
2.下列计算正确的是( )
A.2a•3a=6a B.(﹣a3)2=a6 C.6a÷2a=3a D.(﹣2a)3=﹣6a3
【考点】整式的除法;幂的乘方与积的乘方;单项式乘单项式.
【分析】A：根据单项式乘单项式的方法判断即可.
B：根据积的乘方的运算方法判断即可.
C：根据整式除法的运算方法判断即可.
D：根据积的乘方的运算方法判断即可.
【解答】解：∵2a•3a=6a2，
∴选项A不正确;
∵(﹣a3)2=a6，
∴选项B正确;
∵6a÷2a=3，
∴选项C不正确;
∵(﹣2a)3=﹣8a3，
∴选项D不正确.
故选：B.
3.据统计，中国水资源总量约为27500亿立方米，居世界第六位，其中数据27500亿用科学记数法表示为( )
A.2.75×108 B.2.75×1012 C.27.5×1013 D.0.275×1013
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数;当原数的绝对值<1时，n是负数.
【解答】解：将27500亿用科学记数法表示为：2.75×1012.
故选：B.
4.如图所示，该几何体的俯视图是( )
A. B. C. D.
【考点】简单组合体的三视图.
【分析】根据俯视图是从物体的上面看得到的视图进行解答即可.
【解答】解：从上往下看，可以看到选项C所示的图形.
故选：C.
5.化简 ﹣ 等于( )
A. B. C.﹣ D.﹣
【考点】分式的加减法.
【分析】原式第二项约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果.
【解答】解：原式= + = + = = ，
故选B
6.下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A.x2﹣1 B.x2+2x﹣1 C.x2+x+1 D.4x2+4x+1
【考点】因式分解﹣运用公式法.
【分析】根据完全平方公式，可得答案.
【解答】解：4x2+4x+1=(2x+1)2，故D符合题意;
故选：D.
7.某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划，对20位销售员本月的销售量进行了统计，绘制成如图所示的统计图，则这20位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数分别是( )
A.19，20，14 B.19，20，20 C.18.4，20，20 D.18.4，25，20
【考点】众数;扇形统计图;加权平均数;中位数.
【分析】根据扇形统计图给出的数据，先求出销售各台的人数，再根据平均数、中位数和众数的定义分别进行求解即可.
【解答】解：根据题意得：
销售20台的人数是：20×40%=8(人)，
销售30台的人数是：20×15%=3(人)，
销售12台的人数是：20×20%=4(人)，
销售14台的人数是：20×25%=5(人)，
则这20位销售人员本月销售量的平均数是 =18.4(台);
把这些数从小到大排列，最中间的数是第10、11个数的平均数，
则中位数是 =20(台);
∵销售20台的人数最多，
∴这组数据的众数是20.
故选C.
8.如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：
① = ;② = ;③ = ;④ =
其中正确的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【考点】相似三角形的判定与性质;三角形的重心.
【分析】BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，即DE是△ABC的中位线，则DE∥BC，△ODE∽△OCB，根据相似三角形的性质即可判断.
【解答】解：∵BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE= BC，即 = ，
DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，
∴ =( )2=( )2= ，
= = = ，
故①正确，②错误，③正确;
设△ABC的BC边上的高AF，则S△ABC= BC•AF，S△ACD= S△ABC= BC•AF，
∵△ODE中，DE= BC，DE边上的高是 × AF= AF，
∴S△ODE= × BC× AF= BC•AF，
∴ = = ，故④错误.
故正确的是①③.
故选B.
9.从甲地到乙地的铁路路程约为615千米，高铁速度为300千米/小时，直达;动车速度为200千米/小时，行驶180千米后，中途要停靠徐州10分钟，若动车先出发半小时，两车与甲地之间的距离y(千米)与动车行驶时间x(小时)之间的函数图象为( )
A. B. C. D.
【考点】函数的图象.
【分析】先根据两车并非同时出发，得出D选项错误;再根据高铁从甲地到乙地的时间以及动车从甲地到乙地的时间，得出两车到达乙地的时间差，结合图形排除A、C选项，即可得出结论.
【解答】解：由题可得，两车并非同时出发，故D选项错误;
高铁从甲地到乙地的时间为615÷300=2.05h，
动车从甲地到乙地的时间为615÷200+ ≈3.24h，
∵动车先出发半小时，
∴两车到达乙地的时间差为3.24﹣2.05﹣0.5=0.69h，该时间差小于动车从甲地到乙地所需时间的一半，故C选项错误;
∵0.69>0.5，
∴两车到达乙地的时间差大于半小时，故A选项错误，
故选：B.
10.如图，在正方形ABCD中，AB=2，延长AB至点E，使得BE=1，EF⊥AE，EF=AE.分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为( )
A.2 B.3 C. D.
【考点】正方形的性质;直角三角形斜边上的中线.
【分析】连接AC，易得△ACF是直角三角形，再根据直角三角形的性质即可得出结论.
【解答】解：连接AC，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°.
∵EF⊥AE，EF=AE，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠EAF=45°，
∴∠CAF=90°.
∵AB=BC=2，
∴AC= =2 .
∵AE=EF=AB+BE=2+1=3，
∴AF= =3 ，
∴CF= = = .
∵M为CF的中点，
∴AM= CF= .
故选D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11.不等式组 的解集是 ﹣3
【考点】解一元一次不等式组.
【分析】分别解两个不等式得到x≤1和x>﹣3，然后利用大小小大中间找确定不等式组的解集.
【解答】解： ，
解①得x≤1，
解②得x>﹣3，
所以不等式组的解集为﹣3
故答案为﹣3
12.去年2月“蒜你狠”风潮又一次来袭，某市蔬菜批发市场大蒜价格猛涨，原来单价4元/千克的大蒜，经过2月和3月连续两个月增长后，价格上升很快，物价部门紧急出台相关政策控制价格，4月大蒜价格下降了36%，恰好与涨价前的价格相同，则2月，3月的平均增长率为 25% .
【考点】一元二次方程的应用.
【分析】根据“原来单价4元/千克的大蒜，经过2月和3月连续两个月增长后，价格上升很快，物价部门紧急出台相关政策控制价格，4月大蒜价格下降了36%”可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论;
【解答】解：设2月，3月的平均增长率为x，根据题意得：
4(1+x)2(1﹣36%)=4，
解得：x=25%或x=﹣2.25(舍去)
故答案为：25%.
13.如图，C，D是以线段AB为直径的⊙O上的两点，若CA=CD，且∠ACD=40°，则∠CAB的度数为 20° .
【考点】圆周角定理;等腰三角形的性质.
【分析】根据等腰三角形的性质先求出∠CDA，根据∠CDA=∠CBA，再根据直径的性质得∠ACB=90°，由此即可解决问题.
【解答】解：∵∠ACD=40°，CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA= =70°，
∴∠ABC=∠ADC=70°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°﹣∠B=20°.
故答案为：20°.
14.如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：
①四边形CFHE是菱形;
②EC平分∠DCH;
③线段BF的取值范围为3≤BF≤4;
④当点H与点A重合时，EF=2 .
以上结论中，你认为正确的有 ①③④ .(填序号)
【考点】四边形综合题.
【分析】①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确;
②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，判断出②错误;
③点H与点A重合时，设BF=x，表示出AF=FC=8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=CD，求出BF=4，然后写出BF的取值范围，判断出③正确;
④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确.
【解答】解：∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
由翻折的性质得，CF=FH，
∴四边形CFHE是菱形，(故①正确);
∴∠BCH=∠ECH，
∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，(故②错误);
点H与点A重合时，设BF=x，则AF=FC=8﹣x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，
即42+x2=(8﹣x)2，
解得x=3，
点G与点D重合时，CF=CD=4，
∴BF=4，
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，(故③正确);
过点F作FM⊥AD于M，
则ME=(8﹣3)﹣3=2，
由勾股定理得，
EF= = =2 ，(故④正确);
综上所述，结论正确的有①③④共3个，
故答案为①③④.
三、解答题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)
15.解方程： .
【考点】解一元一次方程.
【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解.
【解答】解：去分母得：2x﹣3(30﹣x)=60，
去括号得：2x﹣90+3x=60，
移项合并得：5x=150，
解得：x=30.
16.如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC(顶点是网格线的交点).
(1)请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1;
(2)将线段AC向左平移3个单位，再向下平移5个单位，画出平移得到的线段A2C2，并以它为一边作一个格点△A2B2C2，使A2B2=C2B2.
【考点】作图﹣轴对称变换;作图﹣平移变换.
【分析】(1)利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案;
(2)直接利用平移的性质得出平移后对应点位置进而得出答案.
【解答】解：(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求;
(2)如图所示：△A2B2C2，即为所求.
四、解答题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)
17.如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为 中点，连接BM，CM.
(1)求证：BM=CM;
(2)当⊙O的半径为2时，求 的长.
【考点】圆内接四边形的性质;正方形的性质.
【分析】(1)根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可;
(2)根据弧长公式计算.
【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∴ = ，
∵M为 中点，
∴ = ，
∴ + = + ，即 = ，
∴BM=CM;
(2)解：∵⊙O的半径为2，
∴⊙O的周长为4π，
∵ = = = ，
∴ = + = ，
∴ 的长= × ×4π= ×4π= π.
18.如图①，把∠α=60°的一个单独的菱形称作一个基本图形，将此基本图形不断的复制并平移，使得下一个菱形的一个顶点与前一个菱形的中线重合，这样得到图②，图③，…
(1)观察以上图形并完成下表：
图形名称 基本图形的个数 菱形的个数
图① 1 1
图② 2 3
图③ 3 7
图④ 4 11
… … …
猜想：在图(n)中，菱形的个数为 4n﹣5 (用含有n(n≥3)的代数式表示);
(2)如图，将图(n)放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为(x1，1)，则x1= ;第2017个基本图形的中心O2017的坐标为 .
【考点】利用轴对称设计图案;菱形的判定与性质;利用平移设计图案.
【分析】(1)根据从第3个图形开始，每多一个基本图形就会多出4个菱形解答即可;
(2)根据菱形的性质求得心O1的坐标为( ，1)，据此可得.
【解答】解：(1)由题意可知，图③中菱形的个数7=3+4×(3﹣2)，
图④中，菱形的个数为3+4×(4﹣2)=11，
∵当n≥3时，每多一个基本图形就会多出4个菱形，
∴图(n)中，菱形的个数为3+4(n﹣2)=4n﹣5，
故答案为：11，4n﹣5;
(2)过点O1作O1A⊥y轴，O1B⊥x轴，则OA=1，
由菱形的性质知∠BAO1=30°，
∴AO1= = = ，
即x1= ，
中心O2的坐标为(2 ，1)、O3的坐标为(3 ，1)…，O2017的坐标为，
故答案为： ，.
五、解答题(本大题共2小题，每小题10分，共20分)
19.如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB的高(AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号).
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.
【分析】过点C作CE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，在Rt△BFD中，分别求出DF、BF的长度，在Rt△ACE中，求出AE、CE的长度，继而可求得AB的长度.
【解答】解：过点C作CE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，
在Rt△BFD中，
∵∠DBF=30°，sin∠DBF= = ，cos∠DBF= = ，
∵BD=6，
∴DF=3，BF=3 ，
∵AB∥CD，CE⊥AB，BF⊥CD，
∴四边形BFCE为矩形，
∴BF=CE=3 ，CF=BE=CD﹣DF=1，
在Rt△ACE中，∠ACE=45°，
∴AE=CE=3 ，
∴AB=3 +1.
答：铁塔AB的高为(3 +1)m.
20.如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y= (x>0)的图象交于点B(2，n)，过点B作BC⊥x轴于点C，点P(3n﹣4，1)是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】将点B(2，n)、P(3n﹣4，1)代入反比例函数的解析式可求得m、n的值，从而求得反比例函数的解析式以及点B和点P的坐标，过点P作PD⊥BC，垂足为D，并延长交AB与点P′.接下来证明△BDP≌△BDP′，从而得到点P′的坐标，最后将点P′和点B的坐标代入一次函数的解析式即可求得一次函数的表达式.
【解答】解：∵点B(2，n)、P(3n﹣4，1)在反比例函数y= (x>0)的图象上，
∴ .
解得：m=8，n=4.
∴反比例函数的表达式为y= .
∵m=8，n=4，
∴点B(2，4)，(8，1).
过点P作PD⊥BC，垂足为D，并延长交AB与点P′.
在△BDP和△BDP′中，
∴△BDP≌△BDP′.
∴DP′=DP=6.
∴点P′(﹣4，1).
将点P′(﹣4，1)，B(2，4)代入直线的解析式得： ，
解得： .
∴一次函数的表达式为y= x+3.
六、解答题(本题满分12分)
21.如图，3×3的方格分为上中下三层，第一层有一枚黑色方块甲，可在方格A、B、C中移动，第二层有两枚固定不动的黑色方块，第三层有一枚黑色方块乙，可在方格D、E、F中移动，甲、乙移入方格后，四枚黑色方块构成各种拼图.
(1)若乙固定在E处，移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是 .
(2)若甲、乙均可在本层移动.
①用树形图或列表法求出黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率.
②黑色方块所构拼图是中心对称图形的概率是 .
【考点】列表法与树状图法;轴对称图形;中心对称图形;概率公式.
【分析】(1)若乙固定在E处，求出移动甲后黑色方块构成的拼图一共有多少种可能，其中是轴对称图形的有几种可能，由此即可解决问题.
(2)①画出树状图即可解决问题.
②中心对称图形有两种可能，由此即可解决问题.
【解答】解：(1)若乙固定在E处，移动甲后黑色方块构成的拼图一共有3种可能，其中有两种情形是轴对称图形，所以若乙固定在E处，移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是 .
故答案为 .
(2)①由树状图可知，黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率= .
②黑色方块所构拼图中是中心对称图形有两种情形，①甲在B处，乙在F处，②甲在C处，乙在E处，
所以黑色方块所构拼图是中心对称图形的概率是 .
故答案为 .
七、解答题(本题满分12分)
22.某旅游风景区出售一种纪念品，该纪念品的成本为12元/个，这种纪念品的销售价格为x(元/个)与每天的销售数量y(个)之间的函数关系如图所示.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)销售价格定为多少时，每天可以获得最大利润?并求出最大利润.
(3)“十•一”期间，游客数量大幅增加，若按八折促销该纪念品，预计每天的销售数量可增加200%，为获得最大利润，“十•一”假期该纪念品打八折后售价为多少?
【考点】二次函数的应用.
【分析】(1)根据函数图象中两个点的坐标，利用待定系数法求解可得;
(2)根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析，利用二次函数的性质可得最值情况;
(3)根据(2)中相等关系列出函数解析式，由二次函数的性质求解可得.
【解答】解：(1)设y=kx+b，
根据函数图象可得： ，
解得： ，
∴y=﹣5x+200;
(2)设每天获利w元，
则w=(x﹣12)y=﹣5x2+260x﹣2400=﹣5(x﹣26)2+980，
∴当x=26时，w最大，最大利润为980元;
(3)设“十一”假期每天利润为P元，
则P=(0.8x﹣12)•y(1+200%)=﹣12x2+660x﹣7200=﹣12(x﹣ )2+1875，
∴当x= 时，P最大，
此时售价为0.8× =22，
答：“十•一”假期该纪念品打八折后售价为22元.
八、解答题(本题满分14分)
23.如图，在△ABC中，点D在△ABC的内部且DB=DC，点E，F在△ABC的外部，FB=FA，EA=EC，∠FBA=∠DBC=∠ECA.
(1)①填空：△ACE∽ △ABF ∽ △BCD ;
②求证：△CDE∽△CBA;
(2)求证：△FBD≌△EDC;
(3)若点D在∠BAC的平分线上，判断四边形AFDE的形状，并说明理由.
【考点】相似形综合题.
【分析】(1)①根据等腰三角形的性质得到∠DBC=∠DCB，∠FBA=∠FAB，∠ACE=∠EAC，等量代换得到∠FAB=∠BCD=∠EAC，于是得到结论;②根据相似三角形的性质得到 ，根据相似三角形的判定定理即可得到结论;
(2)根据相似三角形的性质得到∠EDC=∠FBD，∠FDB=∠ACB等量代换得到∠FDB=∠ACB，根据全等三角形的判定即可得到结论;
(3)根据全等三角形的性质得到FB=DE，DF=CE，等量代换得到FD=AE，FA=DE，推出四边形AFDE是平行四边形，连接AD，于是得到AD平分∠BAC，根据菱形的判定定理即可得到结论.
【解答】解：(1)①∵DB=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∵FB=FA，EA=EC，
∴∠FBA=∠FAB，∠ACE=∠EAC，
∵∠FBA=∠DBC=∠ECA，
∴∠FAB=∠BCD=∠EAC，
∴△ACE∽△ABF∽△BCD;
故答案为：△ABF，△BCD;
②由①知，△ACE∽△BCD，
∴ ，即 ，
∵∠ECA=∠DCB，
∴∠ECD=∠ACB，
∴△CDE∽△CBA;
(2)∵△CDE∽△CBA，
∴∠ABC=∠EDC，
∵∠ABC=∠FBD，
∴∠EDC=∠FBD，
同理△BFD∽△BAC，
∴∠FDB=∠ACB，
∵∠ACB=∠ECD，
∴∠FDB=∠ACB，
在△FBD与△EDC中 ，
∴△FBD≌△EDC;
(3)四边形AFDE是菱形，
理由：∵△FBD≌△EDC，
∴FB=DE，DF=CE，
∵FB=FA，EA=EC，
∴FD=AE，FA=DE，
∴四边形AFDE是平行四边形，
连接AD，则AD平分∠BAC，
即∠BAD=∠CAD，
∵∠BAF=∠CAE，
∴∠DAF=∠DAE，
∵AF∥DE，
∴∠DAF=∠ADE，
∴∠EAD=∠ADE，
∴EA=ED，
∴▱AFDE是菱形.
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