高中数学三角函数教学设计
高中数学三角函数教学设计
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高中数学第一单元三角函数教学设计
第二十四教时
教材：倍角公式，推导“和差化积”及“积化和差”公式
目的：继续复习巩固倍角公式，加强对公式灵活运用的训练;同时，让学生推导出和差化积和积化和差公式，并对此有所了解。
过程：
一、 复习倍角公式、半角公式和万能公式的推导过程：
例一、 已知 ， ，tan = ，tan = ，求2 +
(《教学与测试》P115 例三)
解： ∴
又∵tan2 < 0，tan < 0 ∴ ，
∴ ∴2 + =
例二、 已知sin cos = ， ，求 和tan的值
解：∵sin cos = ∴
化简得： ∴
∵ ∴ ∴ 即
二、 积化和差公式的推导
sin( + ) + sin( ) = 2sincos sincos = [sin( + ) + sin( )]
sin( + ) sin( ) = 2cossin cossin = [sin( + ) sin( )]
cos( + ) + cos( ) = 2coscos coscos = [cos( + ) + cos( )]
cos( + ) cos( ) = 2sinsin sinsin = [cos( + ) cos( )]
这套公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将“积式”化为“和差”，有利于简化计算。(在告知公式前提下)
例三、 求证：sin3sin3 + cos3cos3 = cos32
证：左边 = (sin3sin)sin2 + (cos3cos)cos2
= (cos4 cos2)sin2 + (cos4 + cos2)cos2
= cos4sin2 + cos2sin2 + cos4cos2 + cos2cos2
= cos4cos2 + cos2 = cos2(cos4 + 1)
= cos22cos22 = cos32 = 右边
∴原式得证
三、 和差化积公式的推导
若令 + = ， = φ，则 ， 代入得：
∴
这套公式称为和差化积公式，其特点是同名的正(余)弦才能使用，它与积化和差公式相辅相成，配合使用。
例四、 已知cos cos = ，sin sin = ，求sin( + )的值
解：∵cos cos = ，∴ ①
sin sin = ，∴ ②
∵ ∴ ∴
∴
四、 小结：和差化积，积化和差
五、 作业：《课课练》P36—37 例题推荐 1—3
P38—39 例题推荐 1—3
P40 例题推荐 1—3
高中数学三角函数的诱导公式教学设计
1 教材分析
1.1 教材的地位与作用
本节课教学内容“诱导公式(二)、(三)”是人教版《高中代数》上册第二章§2.6节内容.它既是学生已学习过的三角函数定义、诱导公式(一)等知识的延续和拓展，又是推导诱导公式(四)、(五)的理论依据.是本章“任意角的三角函数”一节及全章中起着承上启下作用的重要纽带.求三角函数值是三角函数中的重要内容.诱导公式是求三角函数值的基本方法.诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90”角的三角函数值问题，诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式.这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力、掌握数学的思想方法具有重大的意义
1.2 教学重点与难点
1.2.1 教学重点
诱导公式的推导及应用
1.2.2 教学难点
相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识.
2 目标分析
根据教学大纲的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，本节课的教学目标如下
2.1 知识目标
1)识记诱导公式.
2)理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明.
2.2 能力目标
1)通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法.
2)通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式.
3)通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力.
2.3 情感目标
1)通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神.
2)通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想.
3 过程分析
3.1 创设问题情境，引导学生观察、联想，导入课题
1)提问：三角函数定义、诱导公式(一)及其结构特征.
2)板书：诱导公式(一).
sin(k·360°+α)=sinα，cos(k·360°+α)=cosα.
tan(k·360°+α)=tanα，cot(k·360°+α)=cotα(k∈Z)
结构特征：①终边相同的角的同一三角函数值相等.
②把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值问题.
教学设想 通过提问让学生温习、重视已有相关知识，为学生学习新知识作铺垫.
3)学生练习：试求下列三角函数值
sin1110°，sin1290°.
教学设想 由已有知识导出新的问题，为学习新知识创设问题情境，以引起学生学习需要和学习兴趣，激发学生的求知欲，启迪学生思维的火花.
4)介绍单位圆概念后，引导学生观察演示(一)并思考下列问题：
①210°能否用(180°+α)的形式表达(0°<α<90°)?(210°=180°+30°)
②210°与30°角的终边位置关系如何?(互为反向延长线或关于原点对称)
③设210°，30°角的终边分别交单位圆于点P，P'，则点P与P'的位置关系如何?(关于原点对称)
④设点P(x，y)，则点P'的坐标怎样表示?[P'(-x，-y)]
⑤sin210°与sin30°的值的关系如何?
教学设想 通过微机动态演示，引导学生发现210°与30°角的终边及其与单位圆交点关于原点对称关系，借助三角函数定义，寻找sin210°与sin30°值的关系，达到转化为求0°～90°角三角函数值的目的.
学生通过主动探索、发现解决问题的途径，体验和领会数形结合与归纳转化的数学思想方法.
5)导入课题
对于任意角α，sinα与sin(180°+α)的关系如何呢?试说出你的猜想.
3.2 运用迁移规律，引导学生联想、类比、归纳、推导公式
1)引导学生观察演示(二)并思考下列问题：
①α与(180°+α)角的终边关系如何?(互为反向延长线或关于原点对称)
②设α与(180°+α)角的终边分别交单位圆于点P，P'，则点P与P'位置关系如何?(关于原点对称)
③设点P(x，y)，那么点P'的坐标怎样表示?[P'(-x，-y)]
④sinα与sin(180°+α)，cosα与cos(180°+α)关系如何?
⑤tanα与tan(180°+α)，cotα与cot(180°+α)关系如何?
⑥经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗?其公式特征如何?
2)板书诱导公式
sin(180°+α)=-sinα，cos(180°+α)=-cosα，
tan(180°+α)=tanα，cot(180°+α)=cotα.
结构特征：①函数名不变，符号看象限(把α看作锐角时).
②把求(180°+α)的三角函数值转化为求α的三角函数值.
教学设想 激发学生做出猜想后，启发学生把特殊问题(求sin210°值)与一般问题进行类比，实现方法迁移，引导学生观察演示，发现角α与(180°+α)的终边及其与单位圆交点关于原点的对称关系，把求角(180°+α)的三角函数值转化为求α的三角函数值.对学生进行归纳思维训练，培养学生归纳思维能力.
微机的动态演示，使学生对“α为任意角”有准确的认识，初步体验从特殊到一般的归纳推理形式，领会数学的归纳转化思想和方法.
3)基础训练题组一
求下列各三角函数值(可查表)：
②试求sin[180°+(-210°)]的值
分析：
对于问题②学生可能出现的情况为：
sin[180°+(-210°)]=-sin(-210°)，
或sin[180°+(-210°)]=sin(-30°).
(至此，大多数学生已无法再运算)
教学设想 在新的知识的基础上又导出新的未知，又一次创设问题情境，把学生的学习兴趣进一步推向高潮，激励学生要敢于迎接挑战、战胜困难、不断追求、陶冶情操、锻炼意志.
4)引导学生观察演示(三)，并思考下列问题：
①30°与(-30°)角的终边位置关系如何?(关于x轴对称)
②设30°与(-30°)角的终边分别交单位圆于点P，P'，则点P与P'的位置关系如何?(关于x轴对称)
③设点P(x，y)，则点P'的坐标怎样表示?[P'(x，-y)]
④sin(-30°)与sin30°的值关系如何?
教学设想 引导学生把求sin210°问题与sin(-30°)进行类比，实现方法迁移.通过微机动态演示，发现-30°与30°角的终边及其与单位圆交点关于x轴对称的关系.借助三角函数定义，寻找sin(-30°)与sin30°值的关系，达到转化为求0°～90°角三角函数的值的目的.
5)导入新问题：对于任意角α，sinα与sin(-α)的关系如何呢?试说出你的猜想?
6)引导学生观察演示(四)并思考下列问题：(设α为任意角)
①α与(-α)角的终边位置关系如何?(关于x轴对称)
②设α与(-α)角的终边分别交单位圆于点P，P'，则点P与P'位置关系如何?(关于x轴对称)
③设点P(x，y)，则点P'的坐标怎样表示?[P'(x，-y)]
④sinα与sin(-α)，cosα与cos(-α)关系如何?
⑤tanα与tan(-α)，cotα与cot(-α)的关系如何?
7)学生分组讨论，尝试推导公式，教师巡视，及时反馈、矫正、讲评.
8)板书诱导公式
sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα.
tan(-α)=-tanα，cot(-α)=-cotα.
结构特征：函数名不变，符号看象限(把α看作锐角)
把求(-α)的三角函数值转化为求α的三角函数值.
9)基础训练题组(二)：求下列各三角函数值(可查表)
③cos(-240°12');④cot(-400°).
3.3 构建知识系统、掌握方法、强化能力
课堂小结：(以提问、填空形式让学生自己完成)
1)诱导公式：
sin(k·360°+α)=sinα.
cos(k·360°+α)=cosα.
tan(k·360°+α)=tanα.
cot(k·360°+α)=cotα.(k∈Z)
sin(180°+α)=-sinα.
cos(180°+α)=-cosα.
tan(180°+α)=tanα.
cot(180°+α)=cotα.
sin(-α)=-sinα.
cos(-α)=cosα.
tan(-α)=-tanα.
cot(-α)=-cotα.
2)公式的结构特征：函数名不变，符号看象限(把α看作锐角时)
3)方法及步骤：
教学设想 通过提问、填空的形式，引导学生概括归纳已有知识，形成知识系统，发现知识规律及其结构特征，深化对诱导公式内涵和实质的理解，强化记忆.
挖掘知识系统体现数学的归纳转化思想方法，培养学生的概括抽象能力，形成知识网络和方法网络.
4)能力训练题组：(检测学生综合运用知识能力)
5)课外思考题.
①求下列各三角函数值：
6)作业与课外思考题
作业：P162习题十三(1)—(6)
教学设想 通过能力训练题组和课外思考题检测学生综合运用知识的能力，培养学生的创造性思维能力，提高学生分析问题和解决问题的实践能力.
为学生课外留下“余音”，培养学生养成自觉学习、积极探索的良好学习习惯，为下一节课学习诱导公式(四)、(五)作准备.
4 教法分析
根据教学内容的结构特征和学生学习数学的心理规律，本节课采用了“问题、类比、发现、归纳”探究式思维训练教学方法.
4.1 利用已有知识导出新的问题，创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发学生的求知欲，达到以旧拓新的目的.
4.2 由(180°+30°)与30°，(-30°)与30°终边对称关系的特殊例子，利用多媒体动态演示，学生对“α为任意角”的认识更具完备性，通过联想，引导学生进行问题类比、方法迁移，发现任意角α与(180°+α)，-α终边的对称关系，进行从特殊到一般的归纳推理训练，学生的归纳思维更具客观性、严密性和深刻性，培养学生的创新能力.
4.3 采用问题设疑，观察演示，步步深入，层层引发，引导联想类比，进而发现、归纳的探究式思维训练教学方法.旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程.在教师适时的启发点拨下，学生在类比、归纳的过程中积极主动地去探索、发现数学规律(公式)，培养学生的创新意识和创新精神，培养学生的思维能力.
4.4 通过能力训练题组和课外思考题，把诱导公式(一)、(二)、(三)的应用进一步拓广，为演绎推导诱导公式(四)、(五)做好理论依据准备，把归纳推理和演绎推理有机结合起来，发展学生的思维能力.
5 评价分析
本节课教学过程中通过问题设疑，引导学生循序渐进的从特殊到一般进行联想、类比、归纳，发现数学公式，体现以教师为主导，学生为主体，积极思维的学习过程.
在问题类比、方法迁移、归纳推理的思维训练过程中，师生的信息交流畅通，反馈及时，评价及时，矫正及时，学生思维活跃，教学活动始终处于教师期望控制中.
5 教案设计说明
5.1 关于本节课教学指导思想
归纳推理是发现和获得知识的基本思维形式，拉普拉斯曾说：“发现真理的主要工具也是归纳和类比”.归纳思维在形成创新意识中具有特殊的重要的地位，归纳思维往往获得的是开拓性的创造(再创造).三角函数求值是三角函数中重要问题之一，诱导公式是解决此类问题的基本方法.教学过程中，通过问题设疑、多媒体动态演示等教学措施，创设问题情境，引导学生从特殊的、个别的属性，通过联想、类比、归纳出具有普遍的、一般的整体性质.体现了学生充分感受和理解知识的产生和发展过程，促使学生积极思维主动探索，勇于发现，敢于创新.通过从特殊到一般的归纳思维训练，学生主动地获得新的知识，并在获得知识的过程中，形成良好的思维品质，发展学生的思维能力.
5.2 关于教学过程的设计
1)重现已有相关知识，为学习新知识作好铺垫.
2)思维总是从问题开始的，在sin1290°的求值过程中，从已知到未知，引发新的问题，营造氛围，引起学生学习需要和学习兴趣，激发学生的求知欲.
3)数学的思想方法是数学素质的核心，由sin210°的求值过程，把未知转化为已知，引导学生发现推导诱导公式的方法和途径，领会数学的归纳转化思想方法.
4)通过多媒体直观动态的演示，从特殊到一般完成所有情况的分类，引导学生联想，进行问题类比、方法迁移、归纳推理出具有普遍性的结论，形成公式，进行归纳思维训练.
5)通过分析诱导公式的结构特征，强化对诱导公式的理解和记忆，深刻领会诱导公式的内涵和实质.构建知识系统，培养学生的概括抽象能力.
6)通过基础训练题组和课外思考题的练习，掌握解决问题的方法，形成技能，提高学生分析问题和解决问题的能力.
高中数学二倍角的三角函数教案设计
一、知识与技能
1.能从二倍角的正弦、余弦、正切公式导出半角公式，了解它们的内在联系;揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力.
2.掌握公式及其推导过程，会用公式进行化简、求值和证明。
3.通过公式推导，掌握半角与倍角之间及半角公式与倍角公式之间的联系，培养逻辑推理能力。
二、过程与方法
1.让学生自己由倍角公式导出半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣;
2.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.
三、情感、态度与价值观
1.通过公式的推导，了解半角公式和倍角公式之间的内在联系，从而培养逻辑推理能力和辩证唯物主义观点。
2.培养用联系的观点看问题的观点。
【教学重点与难点】：
重点：半角公式的推导与应用(求值、化简、证明)
难点：半角公式与倍角公式之间的内在联系，以及运用公式时正负号的选取。
【学法与教学用具】：
1. 学法：
(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
2. 教学方法：观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法。
引导学生复习二倍角公式，按课本知识结构设置提问引导学生动手推导出半角公式，课堂上在老师引导下，以学生为主体，分析公式的结构特征，会根据公式特点得出公式的应用，用公式来进行化简证明和求值，老师为学生创设问题情景，鼓励学生积极探究。
3. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
二、研探新知
四、巩固深化，反馈矫正
五、归纳整理，整体认识
1.巩固倍角公式，会推导半角公式、和差化积及积化和差公式。
2.熟悉"倍角"与"二次"的关系(升角--降次，降角--升次).
3.特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：
4.半角公式左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方;公式的"本质"是用?角的余弦表示角的正弦、余弦、正切.
5.注意公式的结构，尤其是符号.
六、承上启下，留下悬念
七、板书设计(略)
八、课后记：略
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