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什么是概率概率的性质

时间: 谢君787 分享

  概率是对随机事件发生的可能性的度量,一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小。那么你对概率了解多少呢?以下是由学习啦小编整理关于什么是概率的内容,希望大家喜欢!

  概率的定义

  古典定义

  如果一个试验满足两条:

  (1)试验只有有限个基本结果;

  (2)试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。

  这样的试验便是古典试验。

  对于古典试验中的事件A,它的概率定义为:P(A)=m/n,其中n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。m表示事件A包含的试验基本结果数。这种定义概率的方法称为概率的古典定义。

  频率定义

  随着人们遇到问题的复杂程度的增加,等可能性逐渐暴露出它的弱点,特别是对于同一事件,可以从不同的等可能性角度算出不同的概率,从而产生了种种悖论。另一方面,随着经验的积累,人们逐渐认识到,在做大量重复试验时,随着试验次数的增加,一个事件出现的频率,总在一个固定数的附近摆动,显示一定的稳定性。R.von米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率,这就是概率的频率定义。从理论上讲,概率的频率定义是不够严谨的。

  统计定义

  在一定条件下,重复做n次试验,nA为n次试验中事件A发生的次数,如果随着n逐渐增大,频率nA/n逐渐稳定在某一数值p附近,则数值p称为事件A在该条件下发生的概率,记做P(A)=p。这个定义成为概率的统计定义。

  在历史上,第一个对“当试验次数n逐渐增大,频率nA稳定在其概率p上”这一论断给以严格的意义和数学证明的是雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli)。

  从概率的统计定义可以看到,数值p就是在该条件下刻画事件A发生可能性大小的一个数量指标。

  由于频率nA/n总是介于0和1之间,从概率的统计定义可知,对任意事件A,皆有0≤P(A)≤1,P(Ω)=1,P(Φ)=0。其中Ω、Φ分别表示必然事件(在一定条件下必然发生的事件)和不可能事件(在一定条件下必然不发生的事件)。

  公理化定义

  柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义,如下:

  设E是随机试验,S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋于一个实数,记为P(A),称为事件A的概率。这里P(·)是一个集合函数,P(·)要满足下列条件:

  (1)非负性:对于每一个事件A,有P(A)≥0;

  (2)规范性:对于必然事件Ω,有P(Ω)=1;

  (3)可列可加性:设A1,A2……是两两互不相容的事件,即对于i≠j,Ai∩Aj=φ,(i,j=1,2……),则有P(A1∪A2∪……)=P(A1)+P(A2)+……

  概率的性质

  性质1.P(Φ)=0.

  性质2.(有限可加性)当n个事件A1,…,An两两互不相容时: P(A1∪...∪An)=P(A1)+...+P(An).

  性质3.对于任意一个事件A:P(A)=1-P(非A).

  性质4.当事件A,B满足A包含于B时:P(B-A)=P(B)-P(A),P(A)≤P(B)。

  性质5.对于任意一个事件A,P(A)≤1。

  性质6.对任意两个事件A和B,P(B-A)=P(B)-P(AB)。

  性质7.(加法公式)对任意两个事件A和B,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。

  概率区别频率

  对事件发生可能性大小的量化引入“概率”。独立重复试验总次数n,事件A发生的频数μ,事件A发生的频率Fn(A)=μ/n,A的频率Fn(A)有没有稳定值?如果有就称频率μn的稳定值p为事件A发生的概率记作P(A)=p(概率的统计定义)

  P(A)是客观的,而Fn(A)是依赖经验的。统计中有时也用n很大的时候的Fn(A)值当概率的近似值。


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