什么是等差数列的意思概念介绍(2)
一次数列的性质
1。p1(x),p2(x)均为一次数列，则p1(x)±p2(x)与c*p1(x)±p2(x)(c为非零常数)也是一次数列。p(x)是一次函数，(n,p(x))构成直线。
2。p(m)-p(n)=En(m)*b'-En(n)*b'=(En(m)-En(n))*b'=[0,m-n]*b'
3。m+n=p+q -> p(p)+p(q)=p(m)+p(n)
(证明:m+n=p+q -> En(m)+En(n)=En(p)+En(q)
p(m)+p(n)=En(m)*b'+En(n)*b'=(En(m)+En(n))*b'
p(p)+p(q)=(En(p)+En(q))*b'=(En(m)+En(n))*b'=p(m)+p(n)
4。从p(x)=En(x)*b'中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是一次数列，其一次项系数为k*b(1)( k为取出项数之差)，常项系数未知。
5。在一次数列中，从第二项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的平均数.
6。当一次项系数b(1)>0时，数列中的数随项数的增大而增大;当b(1)<0时，数列中的数随项数的减少而减小;b(1)=0时，数列中的数等于一个常数。
等差数列的判定
1、a(n+1)--a(n)=d (d为常数、n ∈N*)[或a(n)--a(n-1)=d，n ∈N*，n ≥2,d是常数]等价于{a(n)}成等差数列。
2、2a(n+1)=a(n)+a(n+2) [n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列。
3、a(n)=kn+b [k、b为常数,n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列。
4、S(n)=A(n)^2 +B(n) [A、B为常数，A不为0，n ∈N* ]等价于{a(n)}为等差数列。
等差数列前n项和公式S 的基本性质
⑴数列为等差数列的重要条件是：数列的前n项和S 可以写成S = an^2 + bn的形式(其中a、b为常数).
⑵在等差数列中，当项数为2n (n∈ N+)时，S偶-S奇 = nd， S奇÷S偶=an÷a(n+1) ;当项数为(2n-1)(n∈ N+)时，S奇—S偶=a中 ，S奇÷S偶 =n÷(n-1) .
⑶若数列为等差数列，则S n，S2n -Sn ，S3n -S 2n，…仍然成等差数列，公差为k^2d .
⑷若两个等差数列的前n项和分别是S 、T (n为奇数)，则 = .
⑸在等差数列中，S = a，S = b (n>m)，则S = (a-b).
⑹等差数列中， 是n的一次函数，且点(n， )均在直线y = x + (a - )上.
(7)记等差数列{an}的前n项和为Sn：①若a1>0，公差d<0，则当an≥0且an+1≤0时，S最大;②若a1<0，公差d>0，则当an≤0且an+1≥0时，S最小。
(8)若等差数列S(p)=q,S(q)=p,则S(p+q)=-(p+q)
等差数列的特殊性质
在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和;特别的，若项数为奇数，还等于中间项的2倍,
即，a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=···=2*a中
例：
数列：1，3，5，7，9，11中
a(1)+a(6)=12 ; a(2)+a(5)=12 ; a(3)+a(4)=12 ; 即，在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和。
数列：1，3，5，7，9中
a(1)+a(5)=10 ; a(2)+a(4)=10 ; a(3)=5=[a(1)+a(5)]/2=[a(2)+a(4)]/2=10/2=5 ; 即，若项数为奇数，和等于中间项的2倍,另见，等差中项。
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