九年级数学上学期期末试题
九年级数学上学期期末试题
经历了九年级的一学期的努力奋战，同学们检验学习成果的时刻就要到了，同学们要准备哪些数学期末试题来复习呢?下面是学习啦小编为大家带来的关于九年级数学上学期期末试题，希望会给大家带来帮助。
九年级数学上学期期末试题：
一、选择题：(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，把答案直接填写在答题卡上相应的位置处)
1.已知 = ，则 的值是( )
【考点】分式的基本性质.
【专题】计算题.
【分析】因为已知 = ，所以可以设：a=2k，则b=3k，将其代入分式即可求解.
【解答】解：∵ = ，
∴设a=2k，则b=3k，
故选A.
【点评】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元.
2.一元二次方程x2﹣3x+k=0的一个根为x=2，则k的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】一元二次方程的解.
【分析】将x=2，代入方程即可求得k的值，从而得到正确选项.
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+k=0的一个根为x=2，
∴22﹣3×2+k=0，
解得，k=2，
故选B.
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确一元二次方程的解一定使得原方程成立.
3.△ABC中，点D、E分别为AB、AC上的点，且满足DE∥BC，若AD=3，BD=2，AE=2，则EC的长为( )
A.3 B. C. D.1
【考点】平行线分线段成比例.
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算即可.
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ = ，即 = ，
解得EC= .
故选：B.
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.
4.正六边形ABCDEF的边长为2，则该六边形的面积为( )
A.3 B.7.5 C.6 D.10
【考点】正多边形和圆.
【分析】连接OE、OD，由正六边形的特点求出判断出△ODE的形状，作OH⊥ED于H，由特殊角的三角函数值求出OH的长，利用三角形的面积公式即可求出△ODE的面积，进而可得出正六边形ABCDEF的面积.
【解答】解：连接OE、OD，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠DEF=120°，
∴∠OED=60°，
∵OE=OD=2，
∴△ODE是等边三角形，
作OH⊥ED于H，则OH=OE•sin∠OED=2× = ，
∴S△ODE= DE•OH= ×2× = ，
∴S正六边形ABCDEF=6S△ODE=6 .
故选：C.
【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质;根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键.
5.下列函数中，y随x增大而增大的是( )
A.y=﹣ B.y=﹣x+5 C.y=﹣ x D.y=﹣ x2(x<0)
【考点】二次函数的性质;一次函数的性质;正比例函数的性质;反比例函数的性质.
【分析】利用反比例函数、一次函数与二次函数的性质逐一分析判定得出答案即可.
【解答】解：A、y=﹣ ，k<0，在每个象限里，y随x的增大而增大，没指明象限，所以无法比较，此选项错误;
B、y=﹣x+1，一次函数，k<0，故y随着x增大而减小，此选项错误;
C、y=﹣ x﹣3，一次函数，k<0，故y随着x增大而减小，此选项错误;
D、y=﹣ x2，抛物线开口向下，当x<0，图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大;而在对称轴左侧，y随着x的增大而减小;此选项正确.
故选：D.
【点评】本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的，掌握函数的增减性是解决问题的关键.
6.某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：80，90，75，75，80，80.下列表述错误的是( )
A.平均数是80 B.极差是15 C.中位数是80 D.方差是5
【考点】方差;加权平均数;中位数;极差.
【专题】计算题.
【分析】先把数据由小到大排列为75，75，80，80，80，90，然后根据平均数、中位数和极差的定义得到数据的平均数，中位数和极差，再根据方差公式计算数据的方差，然后利用计算结果对各选项进行判断.
【解答】解：数据由小到大排列为75，75，80，80，80，90，它的平均数为 =80，数据的中位数为80，极差为为15，
数据的方差= [(75﹣80)2+(75﹣80)2+(80﹣80)2+(80﹣80)2+(80﹣80)2+(90﹣80)2]=25.
故选D.
【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，计算公式是：s2= [(x1﹣x¯)2+(x2﹣x¯)2+…+(xn﹣x¯)2].也考查了平均数、中位数和极差.
7.将一个半径为20的半圆纸片围成圆锥形纸筒，则圆锥的底面半径为( )
A.10 B.10 C.20 D.20
【考点】圆锥的计算.
【专题】计算题.
【分析】设圆锥的底面半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到 •2π•r•20= •202，然后解方程求出r即可.
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，
根据题意得 •2π•r•20= •202，解得r=10，
所以圆锥的底面半径为10.
故选A.
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.
8.直线y=﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，O是原点，点P是线段AB上的动点(包括A、B两点)，以OP为直径作⊙Q，则⊙Q的面积不可能是( )
A.1.5π B.π C. π D. π
【考点】直线与圆的位置关系;一次函数图象上点的坐标特征.
【分析】求出OA、OB，AB，根据面积公式求出高OC，即可求最大圆的面积和最小圆的面积，即可得出选项.
【解答】解：如图：
∵直线y=﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴OA=OB=2，
由勾股定理得：AB= =2
过O作OC⊥AB于C，则O到直线AB的最短距离是OC的长，
由三角形面积公式得： ×OB×OA= AB×OC，
解得：OC= ，
当P和C点重合时，⊙Q的面积最小，是π×( )2= π，
当P和A或B重合时，⊙Q的面积最大，是π×12=π，
即 π≤⊙Q的面积≤π，
故选A.
【点评】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，三角形的面积的应用，能求出最大圆和最小圆的面积是解此题的关键.
9.在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是AB边上一点，BF=3AF，则下列四个结论：
①△AEF∽△DCE;
②CE平分∠DCF;
③点B、C、E、F四个点在同一个圆上;
④直线EF是△DCE的外接圆的切线;
其中，正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【考点】四边形综合题.
【分析】由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠D=90°，设AF=a，则BF=3a，AB=BC=CD=AD=4a，证出AE：DE=AE：CD，即可得出①正确;
先证出∠CEF=90°，由勾股定理求出EF= a，CE=2 a，得出EF：CE=DE：CD，证出△CEF∽△CDE，得出∠FCE=∠DCE，得出CE平分∠DCF，②正确;
由∠B+∠CEF=180°，得出B、C、E、F四个点在同一个圆上，③正确;
由△DCE是直角三角形，得出外接圆的圆心是斜边CE的中点，CE是直径，由EF⊥CE，得出直线EF是△DCE的外接圆的切线，④正确.
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠D=90°，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵BF=3AF，
设AF=a，则BF=3a，AB=BC=CD=AD=4a，
∵AF：DE=1：2，AE：CD=1：2，
∴AE：DE=AE：CD，
∴△AEF∽△DCE，
∴①正确;∠AEF=∠DCE，
∵∠DEC+∠DCE=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∴∠CEF=90°，
∵EF= = a，CE= =2 a，
∴EF：CE=1：2=DE：CD，
∴△CEF∽△CDE，
∴∠FCE=∠DCE，
∴CE平分∠DCF，
∴②正确;
∵∠B=90°，∠CEF=90°，
∴∠B+∠CEF=180°，
∴B、C、E、F四个点在同一个圆上，
∴③正确;
∵△DCE是直角三角形，
∴外接圆的圆心是斜边CE的中点，CE是直径，
∵∠CEF=90°，
∴EF⊥CE，
∴直线EF是△DCE的外接圆的切线，
∴④正确，
正确的结论有4个.故选：D.
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、四点共圆等知识;本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.
10.在平面直角坐标系中，以点A(2，4)为圆心，1为半径作⊙A，以点B(3，5)为圆心，3为半径作⊙B，M、N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为( )
A. ﹣4 B. ﹣1 C.6﹣2 D. ﹣3
【考点】轴对称-最短路线问题;坐标与图形性质.
【分析】作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，根据两点之间线段最短得到此时PM+PN最小，再利用对称确定A′的坐标，接着利用两点间的距离公式计算出A′B的长，然后用A′B的长减去两个圆的半径即可得到MN的长，即得到PM+PN的最小值.
【解答】解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，
则此时PM+PN最小，
∵点A坐标(2，4)，
∴点A′坐标(2，﹣4)，
∵点B(3，5)，
∴A′B= = ，
∴MN=A′B﹣BN﹣A′M=5 ﹣3﹣1= ﹣4，
∴PM+PN的最小值为 ﹣4.
故选A.
【点评】本题考查了圆的综合题：掌握与圆有关的性质和关于x轴对称的点的坐标特征;会利用两点之间线段最短解决线段和的最小值问题;会运用两点间的距离公式计算线段的长;理解坐标与图形性质.
二、填空(本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置处)
11.已知(a﹣2)x2+(a﹣1)x﹣3=0是关于x的一元二次方程，则a满足的条件是a≠2.
【考点】一元二次方程的定义.
【分析】直接利用一元二次方程的定义得出a满足的条件即可.
【解答】解：∵(a﹣2)x2+(a﹣1)x﹣3=0是关于x的一元二次方程，
∴a满足的条件是：a≠2.
故答案为：a≠2.
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键.
12.已知△ABC∽△DEF，∠A=30°，∠F=30°，则∠E的度数为120°.
【考点】相似三角形的性质.
【分析】根据相似三角形的性质求出∠D的度数，根据三角形内角和定理计算即可.
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴∠D=∠A=30°，
∠E=180°﹣∠D﹣∠F=120°，
故答案为：120°.
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等，对应角相等是解题的关键.
13.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，cosB= ，则BC=9.
【考点】锐角三角函数的定义.
【分析】根据在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边，可得答案.
【解答】解：由cosB= ，得
BC=AB•cosB=15× =9，
故答案为：9.
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.
14.关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k>﹣1.
【考点】根的判别式.
【分析】根据判别式的意义得到△=(﹣2)2+4k>0，然后解不等式即可.
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个不相等的实数根，
∴△=(﹣2)2+4k>0，
解得k>﹣1.
故答案为：k>﹣1.
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根;当△=0，方程有两个相等的实数根;当△<0，方程没有实数根.
15.△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=87°，则∠AOC的大小是58°.
【考点】圆周角定理.
【分析】先根据圆周角定理得到∠ABC= ∠AOC，由于∠ABC+∠AOC=87°，所以 ∠AOC+∠AOC=87°，然后解方程即可.
【解答】解：∵∠ABC= ∠AOC，
而∠ABC+∠AOC=87°，
∴ ∠AOC+∠AOC=87°，
∴∠AOC=58°.
故答案是：58°.
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.
16.△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2).以点B为位似中心，在网格内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且位似比为2：1，点A1的坐标是(﹣3，2).
【考点】位似变换;坐标与图形性质.
【分析】利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案.
【解答】解：如图所示：△A1B1C1即为所求，
则点A1的坐标是：(﹣3，2).
故答案为：(﹣3，2).
【点评】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，得出对应点位置是解题关键.
17.将抛物线y=2x2﹣4x+m绕原点旋转180°后过点(2，﹣21)，则m的值为21.
【考点】二次函数图象与几何变换.
【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，将其绕顶点旋转180°后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向，再根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数得出所求新抛物线的解析式再把点(2，﹣21)代入可得m的值.
【解答】解：y=2x2﹣4x+m，
=2(x2﹣2x)+m，
=2(x2﹣2x+1﹣1)+m，
=2(x﹣1)2﹣2+m，
绕原点旋转180°后y=﹣2(x﹣1)2+2﹣m，
∵过点(2，﹣21)，
∴﹣21=﹣2(2﹣1)2+2﹣m，
解得：m=21.
故答案为：21.
【点评】此题主要考查了根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式.关键是掌握关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数.
18.边长为 的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为 的圆上，顶点C、D在圆内，将正方形ABCD沿圆的内壁逆时针方向作无滑动的滚动.当点C第一次落在圆上时，点C运动的路径长为 .
【考点】正多边形和圆.
【分析】设圆心为O，连接AO，BO，AC，AE，易证三角形AOB是等边三角形，确定∠GFE=∠EAC=30°，再利用弧长公式计算即可.
【解答】解：如图所示：
设圆心为O，连接AO，BO，AC，AE，
∵AB= ，AO=BO= ，
∴AB=AO=BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠OAB=60°
同理：△FAO是等边三角形，∠FAB=2∠OAB=120°，
∴∠EAC=120°﹣90°=30，∠GFE=∠FAD=120°﹣90°=30°，
∵AD=AB= ，
∴AC= =2，
当点C第一次落在圆上时，点C运动的路径长为 + = ;
故答案为： .
【点评】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的运用以及弧长公式的运用，题目的综合性较强，解题的关键是正确的求出旋转角的度数.
三、解答题：(本大题共10小题，共84分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.计算
(1) +(1﹣ )0+4sin30°;
(2)sin245°+( )﹣2+cos245°.
【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
【专题】计算题;实数.
【分析】(1)原式第一项化为最简二次根式，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果;
(2)原式利用特殊角的三角函数值及负整数指数幂法则计算即可得到结果.
【解答】解：(1)原式=2 +1+2=2 +3
(2)原式= +4+ =5.
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
20.解方程：
(1)x2﹣3x=1;
(2)x2+4x﹣21=0.
【考点】解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-公式法.
【专题】一次方程(组)及应用.
【分析】(1)方程整理后，利用公式法求出解即可;
(2)方程利用公式法求出解即可.
【解答】解：(1)方程整理得：x2﹣3x﹣1=0，
这里a=1，b=﹣3，c=﹣1，
∵△=9+4=13，
∴x= ，
解得：x1= ，x2= ;
(2)方程整理得：x2+4x=21，
配方得：x2+4x+4=25，即(x+2)2=25，
开方得：x+2=5或x+2=﹣5，
解得：x1=﹣7，x2=3.
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
21.有A、B两只不透明的布袋，A袋中有四个除标号外其他完全相同的小球，标号分别为0，1，2，3;B袋中有三个除标号外其他完全相同的小球，标号分别为﹣1，﹣2，﹣3.小明先从A袋中随机取出一小球，用m表示该球的标号，再从B袋中随机取出一球，用n表示该球的标号.
(1)用树状图或列表的方式表示(m，n)的所有可能结果;
(2)若m、n分别表示数轴上两个点，求这两个点之间的距离等于3的概率.
【考点】列表法与树状图法.
【分析】(1)首先根据题意列表，即求得所有等可能的结果;
(2)利用概率公式求得概率即可.
【解答】解：(1)列表如下：
所有等可能的结果为12种; (2)所有等可能的结果为12种，其中距离等于3的有3种，
故P(两个点之间的距离等于3)= = .
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.
22.为了考察甲、乙两种玉米的生长情况，在相同的时间，将它们种在同一块实验田里，经过一段时间后，分别抽取了10株幼苗，测得苗高如下(单位：cm)：
甲：8，12，8，10，13，7，12，11，10，9;
乙：11，9，7，7，12，10，11，12，13，8.
(1)分别求出两种玉米的平均高度;
(2)哪种玉米的幼苗长得比较整齐?
【考点】方差;加权平均数.
【分析】(1)根据平均数的计算公式分别把这10株幼苗的高度加起来，再除以10即可;
(2)先算出甲与乙的方差，再进行比较，方差越小的，棉苗长势越整齐，即可得出答案.
【解答】(1)甲组数据的平均数= ×(8+12+8+10+13+7+12+11+10+9)=10cm;
乙组数据的平均数= ×(11+9+7+7+12+10+11+12+13+8)=10cm;
(2)s2甲= ×[(8﹣10)2+(12﹣10)2+…+(9﹣10)2]=3.6cm2;
s2乙= ×[(11﹣10)2+(9﹣10)2+…+(8﹣10)2]=4.2cm2.
s2甲
所以甲玉米幼苗长得比较整齐.
【点评】本题考查了平均数与方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为 ，则方差S2= [(x1﹣ )2+(x2﹣ )2+…+(xn﹣ )2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.
23.某处山坡上有一棵与水平面垂直的大树，狂风过后，大树被刮的倾斜后折断，倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面(如图所示).已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干的倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m.
(1)求∠DAC的度数;
(2)这棵大树折断前高约多少米?(结果精确到个位，参考数据： ≈1.4， ≈1.7， ≈2.4)
【考点】解直角三角形的应用.
【分析】(1)延长BA交EF于点G，在RT△AGE中，求得∠GAE=67°，然后根据∠CAE=180°﹣∠GAE﹣∠BAC即可求得;
(2)过点A作AH⊥CD，垂足为H，在△ADH中，根据余弦函数求得DH，进而根据正弦函数求得AH，在RT△ACH中，求得CH=AH=2 ，然后根据AB=AC+CD即可求得.
【解答】解：(1)延长BA交EF于点G，
在RT△AGE中，∠E=23°，
∴∠GAE=67°，
又∠BAC=38°，
∴∠CAE=180°﹣67°﹣38°=75°.
(2)过点A作AH⊥CD，垂足为H，
在△ADH中，∠ADC=60°，AD=4，cos∠ADC= ，
∴DH=2，sin∠ADC= ，
∴AH=2 .
在RT△ACH中，∠C=180°﹣75°﹣60°=45°，
∴AC=2 ，CH=AH=2 .
∴AB=AC+CD=2 +2 +2≈10(米).
答：这棵大树折断前高约10米.
【点评】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决.
24.AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线PC交AB的延长线于点P，过点A作AD⊥PC于点D，连接AC，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE.
(1)求证：AC平分∠DAB;
(2)若tan∠ABC= ，BE=2 ，求圆的直径及线段CE的长.
【考点】切线的性质;勾股定理.
【分析】(1)由等腰三角形的性质得出∠OAC=∠OCA，由切线的性质和已知条件得出OC∥AD，得出∠CAD=∠OCA=∠OAC即可.
(2)连接AE，由圆周角定理得出 ，得出 ，由圆周角定理得出∠ACB=∠AEB=90°，由三角函数得出 = ，设AC=4x，则BC=3x，由勾股定理得出AB=4，AC= ，由角平分线的性质得出AF的长，证出△BCE∽△FCA，得出对应边成比例，即可得出结果.
【解答】(1)证明：∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，∵AD⊥PC，
∴OC∥AD，
∴∠CAD=∠OCA=∠OAC，
即AC平分∠DAB;
(2)解：连接AE，如图所示：
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠AEB=90°，
∵tan∠ABC= = ，
设AC=4x，则BC=3x，
，AB= =5x，
则5x=4，x= ，
∴AC=4× = ，
∵CE平分∠ACB，
∴AF= ×4= ，
∵∠E=∠BAC，∠BCE=∠ACE，
∴△BCE∽△FCA，
即 ，
解得：CE= .
【点评】本题考查了切线的性质、平行线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理、三角函数，相似三角形的判定与性质等知识;本题综合性强，有一定难度，特别是(2)中，需要运用角平分线的性质定理和证明三角形相似才能得出结果.
25.九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销售量的相关信息如下表：
时间x(天) 1≤x<50 50≤x≤90
售价(元/件) x+40 90
每天销量(件) 200﹣2x 200﹣2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元
(1)求出y与x的函数关系式;
(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少?
(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.
【考点】二次函数的应用.
【分析】(1)根据单价乘以数量，可得利润，可得答案;
(2)根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案;
(3)根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案.
【解答】解：(1)当1≤x<50时，y=(x+40﹣30)=﹣2x2+180x+2000，
当50≤x≤90时，
y=(90﹣30)=﹣120x+12000，
综上所述：y= ;
(2)当1≤x<50时，
y=﹣2x2+180x+2000，
y=﹣2(x﹣45)2+6050.
∴a=﹣2<0，
∴二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45，
当x=45时，y最大=6050，
当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，
当x=50时，y最大=6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元;
(3)①当1≤x<50时，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，
解得：20≤x<70，
因此利润不低于4800元的天数是20≤x<50，共30天;
②当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，
解得：x≤60，
因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，
所以该商品在整个销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元.
【点评】本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性质求最值.解答时求出函数的解析式是关键.
26.已知△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，tanA= .点D由A出发沿AC向点C匀速运动，同时点E由B出发沿BA向点A匀速运动，它们的速度相同，点F在AB上，FE=4cm，且点F在点E的下方，当点D到达点C时，点E，F也停止运动，连接DF，设AD=x(0≤x≤6).解答下列问题：
(1)如图1，当x为何值时，△ADF为直角三角形;
(2)如图2，把△ADF沿AB翻折，使点D落在D′点.
①当x为何值时，四边形ADFD′为菱形?并求出菱形的面积;
②如图3，连接D′E，设D′E为y，请求出y关于x的函数关系式;
③如图4，分别取D′F，D′E的中点M，N，在整个运动过程中，试确定线段MN扫过的区域的形状，并求其面积(直接写出答案).
【考点】几何变换综合题.
【分析】(1)△ADF为直角三角形，有两种可能：∠ADF=90°或∠AFD=90°，根据锐角三角函数列方程求解即可;
(2)①根据菱形的判定，可知当AD=DF时，四边形ADFD′为菱形，根据锐角三角函数列方程求出x，计算菱形的面积即可;
②根据锐角三角函数表示出AG、D′G、GE，根据勾股定理列出函数表达式;
③根据三角形中位线定理可知线段MN扫过的区域的形状是平行四边形，其面积为 .
【解答】解：(1)∵∠ACB=90°，BC=8，tanA= ，
∴BC=8，AB=10，
∴AD=x，BF=2 x，AF=6﹣x，
当∠ADF=90°，如图1左图，
∵tanA= ，
∴cosA= ，
∴ ，
∴ ;
当∠AFD=90°，如图1右图，
∵tanA=
∴cosA= ，
∴ ，
∴ ，
∴当 或 ，△ADF为直角三角形;
(2)①如图2，
∵AD=AD′，D′F=DF，
∴当AD=DF时，四边形ADFD′为菱形，
∴连接DD′⊥AF于G，AG= ，
∵tanA=
∴cosA= ，
∴ ，
∴x= ，
S菱形= ;
②如图3，作D′G⊥AF于G，
∵tanA= ，
∴cosA= ，sinA= ，
∴
∴ ，
∴ ;
(3)平行四边形， .
∵M、N分别为D′F、D′E的中点，
∴MN∥EF，MN= EF=2，
∴线段MN扫过的区域的形状是平行四边形，
当D运动到C，则F正好运动到A，此时MA= D′A= DA=3，
∵∠DAB=∠D′AB，
∴tanA=tan∠D′AB= ，
点M到AB的距离设为4x，则(3x)2+(4x)2=32，
解得：x= ，
4x= ，
∴线段MN扫过的区域的形状是平行四边形的面积=2× = .
【点评】本题主要考查了锐角三角函数、直角三角形的判定、菱形的判定、勾股定理以及三角形中位线性质的综合运用，具备较强的数形结合能力是解决问题的关键.
27.抛物线y=﹣(x﹣1)2+c与x轴交于A，B(A，B分别在y轴的左右两侧)两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A(﹣1，0).
(1)求点B，C的坐标;
(2)判断△CDB的形状并说明理由;
(3)将△COB沿x轴向右平移t个单位长度(0
【考点】二次函数综合题.
【专题】压轴题.
【分析】(1)首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B，C的坐标;
(2)分别求出△CDB三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB为直角三角形;
(3)△COB沿x轴向右平移过程中，分两个阶段：
(I)当0
(II)当
【解答】解：(1)∵点A(﹣1，0)在抛物线y=﹣(x﹣1)2+c上，
∴0=﹣(﹣1﹣1)2+c，得c=4，
∴抛物线解析式为：y=﹣(x﹣1)2+4，
令x=0，得y=3，∴C(0，3);
令y=0，得x=﹣1或x=3，∴B(3，0).
(2)△CDB为直角三角形.理由如下：
由抛物线解析式，得顶点D的坐标为(1，4).
如答图1所示，过点D作DM⊥x轴于点M，则OM=1，DM=4，BM=OB﹣OM=2.
过点C作CN⊥DM于点N，则CN=1，DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1.
在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC= = = ;
在Rt△CND中，由勾股定理得：CD= = = ;
在Rt△BMD中，由勾股定理得：BD= = = .
∵BC2+CD2=BD2，
∴△CDB为直角三角形(勾股定理的逆定理).
(3)设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B(3，0)，C(0，3)，
∴ ，
解得k=﹣1，b=3，
∴y=﹣x+3，
直线QE是直线BC向右平移t个单位得到，
∴直线QE的解析式为：y=﹣(x﹣t)+3=﹣x+3+t;
设直线BD的解析式为y=mx+n，∵B(3，0)，D(1，4)，
∴ ，
解得：m=﹣2，n=6，
∴y=﹣2x+6.
连接CQ并延长，射线CQ交BD于点G，则G( ，3).
在△COB向右平移的过程中：
(I)当0
设PQ与BC交于点K，可得QK=CQ=t，PB=PK=3﹣t.
设QE与BD的交点为F，则： ，解得 ，∴F(3﹣t，2t).
S=S△QPE﹣S△PBK﹣S△FBE= PE•PQ﹣ PB•PK﹣ BE•yF= ×3×3﹣ (3﹣t)2﹣ t•2t= t2+3t;
(II)当
设PQ分别与BC、BD交于点K、点J.
∵CQ=t，
∴KQ=t，PK=PB=3﹣t.
直线BD解析式为y=﹣2x+6，令x=t，得y=6﹣2t，
∴J(t，6﹣2t).
S=S△PBJ﹣S△PBK= PB•PJ﹣ PB•PK= (3﹣t)(6﹣2t)﹣ (3﹣t)2= t2﹣3t+ .
综上所述，S与t的函数关系式为：
S= .
【点评】本题是运动型二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数的图象与性质、勾股定理及其逆定理、图形面积计算等知识点.难点在于第(3)问，弄清图形运动过程是解题的先决条件，在计算图形面积时，要充分利用各种图形面积的和差关系.
28.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12cm，BC=4cm，点E从点C出发沿射线CA以每秒3cm的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以每秒1cm的速度运动.设运动时间为t秒.
(1)若0
(2)若∠ACB的平分线CG交△ECF的外接圆于点G.
①试说明：当0
②试探究：当t≥4时，CE、CF、CG的数量关系是否发生变化，并说明理由.
【考点】相似形综合题.
【分析】(1)0
(2)分成0
【解答】解：(1)由题意，EC=3t，BF=t，FC=4﹣t
∵∠ECF=∠ACB，
∴以E、C、F为顶点的三角形与△ACB相似有两种情况：
当 = 时，△EFC∽△ABC
∴ ，解得t=2，
当 = 时，△FEC∽△ABC
∴ ，解得t=0.4.
∴当t=2或0.4秒时，以E、C、F为顶点的三角形与△ABC相似;
(2)①当0
过点G作GH⊥CG交AC于H，如图1：
∵∠ACB=90°，
∴EF为△ECF的外接圆的直径，
∴∠EGF=90°，
∴∠EGH=∠FGC，
∵CG平分∠ACB，
∴∠ECG=∠FCG=45°
∴ = ，
∴EG=FG
∵∠ECG=45°，
∴∠EHG=45°，
∴∠EHG=∠FCG，
在△EGH和△FGC中，
，
∴△EGH≌△FGC.
∴EH=FC
∵∠EHG=∠ECG=45°，
∴CH= CG
∵CH=CE+EH，
∴CE+CF= CG;
②当t≥4时，
过点G作GM⊥CG交AC于M，如图2：
同理可得△EGM≌△FGC.
∴EM=FC
∵∠EMG=∠MCG=45°，
∴CM= CG
∵CM=CE﹣EM，
∴CE﹣CF= CG.
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理以及圆的弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系，正确证明△EGH≌△FGC是解决本题的关键.
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