九年级数学上册期末测试卷
九年级数学上册期末测试卷
九年级的期末复习是数学学习的重要环节，也是提高数学学习成效的重要因素。下面是学习啦小编为大家带来的关于九年级数学上册期末测试卷，希望会给大家带来帮助。
九年级数学上册期末测试卷：
一、选择题(本题共10个小题，每小题3分，共30分)
1.汽车标志中不是中心对称形的是( )
【考点】中心对称形.
【分析】根据中心对称形的概念求解.
【解答】解：A、是中心对称形.故错误;
B、不是中心对称形.故正确;
C、是中心对称形.故错误;
D、是中心对称形.故错误.
故选B.
【点评】本题考查了中心对称形的概念：中心对称形是要寻找对称中心，旋转180度后与原重合.
2.一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为( )
A.(x+4)2=17 B.(x+4)2=15 C.(x﹣4)2=17 D.(x﹣4)2=15
【考点】解一元二次方程-配方法.
【专题】计算题.
【分析】方程利用配方法求出解即可.
【解答】解：方程变形得：x2﹣8x=1，
配方得：x2﹣8x+16=17，即(x﹣4)2=17，
故选C
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
3.下列说法正确的是( )
A.“打开电视任选一频道，播放动画片”是必然事件
B.“任意画出一个正六边形，它的中心角是60°”是必然事件
C.“旋转前、后的形全等”是随机事件
D.任意掷一枚质地均匀的硬币10次正面朝上的一定是5次
【考点】随机事件.
【分析】根据随机事件以及必然事件的定义即可作出判断.
【解答】解：A、“打开电视任选一频道，播放动画片”是随机事件，选项错误;
B、“任意画出一个正六边形，它的中心角是60°”是必然事件，选项正确;
C、“旋转前、后的形全等”是必然事件，选项错误;
D、任意掷一枚质地均匀的硬币10次正面朝上的可能是5次，选项错误.
故选B.
【点评】本题考查了必然事件、随机事件、不可能事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.
4.市煤气公司计划在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)的函数象大致是( )
A. B. C. D.
【考点】反比例函数的应用;反比例函数的象.
【专题】压轴题.
【分析】根据储存室的体积=底面积×高即可列出反比例函数关系，从而判定正确的结论.
【解答】解：由储存室的体积公式知：104=Sd，
故储存室的底面积S(m2)与其深度d(m)之间的函数关系式为S= (d>0)为反比例函数.
故选：A.
【点评】本题考查了反比例函数的应用及反比例函数的象，解题的关键是根据自变量的取值范围确定双曲线的具体位置，难度不大.
5.已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC的度数是( )
A.10° B.20° C.30° D.40°
【考点】切线的性质;圆周角定理.
【专题】压轴题.
【分析】连接BC，OB，根据圆周角定理先求出∠C，再求∠BAC.
【解答】解：连接BC，OB，
AC是直径，则∠ABC=90°，
PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，则∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=180°﹣∠P=140°，
由圆周角定理知，∠C= ∠AOB=70°，
∴∠BAC=90°﹣∠C=20°.
故选B.
【点评】本题利用了直径对的圆周角是直角，切线的概念，圆周角定理，四边形内角和定理求解.
6.点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是( )
A. B. C. D.
【考点】锐角三角函数的定义.
【分析】利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α=∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出答案.
【解答】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠α+∠BCD=∠ACD+∠BCD，
∴∠α=∠ACD，
∴cosα=cos∠ACD= = = ，
只有选项C错误，符合题意.
故选：C.
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出∠α=∠ACD是解题关键.
7.A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A，B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A，B间的距离，有关他这次探究活动的描述错误的是( )
A.MN∥AB
B.AB=24m
C.△CMN∽△CAB
D.△CMN与四边形ABMN的面积之比为1：2
【考点】三角形中位线定理.
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN∥AB，MN= AB，再根据相似三角形的判定解答即可.
【解答】解：∵M、N分别是AC，BC的中点，
∴MN∥AB，MN= AB，
∴AB=2MN=2×12=24m，△CMN∽△CAB，
∵M是AC的中点，
∴CM=MA，
∴CM：CA=1：2，
∴△CMN与△ACB的面积之比为1：4，
即△CMN与四边形ABMN的面积之比为1：3，
故描述错误的是D选项.
故选：D.
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定，熟记定理并准确识是解题的关键.
8.教师节期间，某校数学组教师向本组其他教师各发一条祝福短信.据统计，全组共发了240条祝福短信，如果设全组共有x名教师，依题意，可列出的方程是( )
A.x(x+1)=240 B.x(x﹣1)=240 C.2x(x+1)=240 D. x(x+1)=240
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.
【专题】应用题.
【分析】每个老师都要向除自己之外的老师发一条短信，让人数乘以每个老师所发短信条数等于短信总条数即为所求方程.
【解答】解：∵全组共有x名教师，每个老师都要发(x﹣1)条短信，共发了240条短信.
∴x(x﹣1)=240.
故选B.
【点评】考查列一元二次方程;得到短信总条数的等量关系是解决本题的关键.
9.已知两点A(5，6)，B(7，2)，先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，将其缩小为原来的 得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为( )
A.(2，3) B.(﹣2，﹣3) C.(2，3)或(﹣2，﹣3) D.(3，3)或(﹣3，﹣3)
【考点】位似变换;坐标与形性质.
【分析】首先得出A点平移后点的坐标，再利用位似形的性质得出对应点C的坐标.
【解答】解：所示：可得A点平移后对应点A′坐标为：(4，6)，
则点A′的对应点C的坐标为：(2，3)或(﹣2，﹣3).
【点评】此题主要考查了位似变换，根据题意得出对应点坐标是解题关键.
10.已知二次函数y=ax2+bx+c+2的象所示，顶点为(﹣1，0)，下列结论：①abc>0;②b2﹣4ac=0;③a>2;④方程ax2+bc+c=﹣2的根为x1=x2=﹣1;⑤若点B(﹣ ，y1)，C(﹣ ，y2)为函数象上的两点，则y2
A.2 B.3 C.4 D.5
【考点】二次函数象与系数的关系.
【分析】①首先根据抛物线开口向上，可得a>0;然后根据对称轴在y轴左边，可得b>0;最后根据抛物线与y轴的交点在x轴的上方，可得c>0，据此判断出abc>0即可.
②根据二次函数y=ax2+bx+c+2的象与x轴只有一个交点，可得△=0，即b2﹣4a(c+2)=0，b2﹣4ac=8a>0，据此解答即可.
③首先根据对称轴x=﹣ =﹣1，可得b=2a，然后根据b2﹣4ac=8a，确定出a的取值范围即可.
④根据顶点为(﹣1，0)，可得方程ax2+bc+c=﹣2的有两个相等实根，
⑤根据点BC在对称轴右侧，y随x的增大而增大来判断即可.
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵对称轴在y轴左边，
∴b>0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c+2>2，
∴c>0，
∴abc>0，
∴结论①正确;
∵二次函数y=ax2+bx+c+2的象与x轴只有一个交点，
∴△=0，
即b2﹣4a(c+2)=0，
∴b2﹣4ac=8a>0，
∴结论②不正确;
∵对称轴x=﹣ =﹣1，
∴b=2a，
∵b2﹣4ac=8a，
∴4a2﹣4ac=8a，
∴a=c+2，
∵c>0，
∴a>2，
∴结论③正确;
∵二次函数y=ax2+bx+c+2的顶点为(﹣1，0)，
∴方程ax2+bx+c+2=0的根为x1=x2=﹣1;
∴结论④正确;
∵x>﹣1，y随x的增大而增大，
∴y1>y2，
∴结论⑤正确.
综上，可得正确结论的个数是2个：①③④⑤.
故选C.
【点评】本题考查了二次函数的象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口;②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右.(简称：左同右异)③常数项c决定抛物线与y轴交点. 抛物线与y轴交于(0，c).
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.若关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是 k≤1且k≠0 .
【考点】根的判别式;一元二次方程的定义.
【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围.还要注意二次项系数不为0.
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个实数根，
∴根的判别式△=b2﹣4ac=4﹣4k≥0，且k≠0.
即k≤1且k≠0.
故答案是：k≤1且k≠0.
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.
12.在一个不透明的袋子中有10个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的概率约为30%，估计袋中白球有 3 个.
【考点】利用频率估计概率.
【分析】根据摸到白球的概率公式 =40%，列出方程求解即可.
【解答】解：不透明的布袋中的小球除颜色不同外，其余均相同，共有10个小球，其中白色小球x个，
根据古典型概率公式知：P(白色小球)= =30%，
解得：x=3.
故答案为：3.
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)= .
13.水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8m，则排水管内水的深度为 0.8 m.
【考点】垂径定理的应用;勾股定理.
【分析】过O点作OC⊥AB，C为垂足，交⊙O于D，连OA，根据垂径定理得到AC=BC=0.5m，再在Rt△AOC中，利用勾股定理可求出OC，即可得到CD的值，即水的深度.
【解答】解：过O点作OC⊥AB，C为垂足，交⊙O于D、E，连OA，
OA=0.5m，AB=0.8m，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=0.4m，
在Rt△AOC中，OA2=AC2+OC2，
∴OC=0.3m，
则CE=0.3+0.5=0.8m，
故答案为：0.8.
【点评】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧是解题的关键，注意勾股定理的运用.
14.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为 y=(x﹣2)2﹣1 .
【考点】二次函数象与几何变换.
【分析】先确定抛物线y=x2﹣4的顶点坐标为(0，﹣4)，再根据点平移的规律点(0，﹣4)平移后得到点的坐标为(2，﹣1)，然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式.
【解答】解：抛物线y=x2﹣4的顶点坐标为(0，﹣4)，把点(0，﹣4)先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点的坐标为(2，﹣1)，所以平移后的抛物线解析式为y=(x﹣2)2﹣1.
故答案为y=(x﹣2)2﹣1.
【点评】本题考查了二次函数象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.
15.用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 .
【考点】弧长的计算.
【分析】利用底面周长=展开的弧长可得.
【解答】解： ，解得r= .
故答案为： .
【点评】解答本题的关键是有确定底面周长=展开的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值.
16.四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A，D在x轴的正半轴，点C在y轴的正半轴上，点F再AB上，点B，E在反比例函数y= 的象上，OA=2，OC=6，则正方形ADEF的边长为 ﹣1 .
【考点】反比例函数象上点的坐标特征.
【分析】先确定B点坐标(2，6)，根据反比例函数象上点的坐标特征得到k=12，则反比例函数解析式为y= ，设AD=t，则OD=2+t，所以E点坐标为(2+t，t)，再根据反比例函数象上点的坐标特征得(2+t)•t=12，利用因式分解法可求出t的值.
【解答】解：∵OA=2，OC=6，
∴B点坐标为(2，6)，
∴k=2×6=12，
∴反比例函数解析式为y= ，
设AD=t，则OD=2+t，
∴E点坐标为(2+t，t)，
∴(2+t)•t=12，
整理为t2+2t﹣12=0，
解得t1=﹣1+ (舍去)，t2=﹣1﹣ ，
∴正方形ADEF的边长为 ﹣1.
故答案为： ﹣1.
【点评】本题考查了反比例函数象上点的坐标特征：反比例函数y= (k为常数，k≠0)的象是双曲线，象上的点(x，y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k.
三、解答题(共9小题，满分72分)
17.(1)解方程：2x2+x﹣15=0
(2)计算：sin30°﹣ sin45°+tan60°﹣cos30°+20160.
【考点】解一元二次方程-因式分解法;特殊角的三角函数值.
【分析】(1)先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可;
(2)先把各个角的函数值代入，再求出即可.
【解答】解：(1)2x2+x﹣15=0，
(2x﹣5)(x+3)=0，
2x﹣5=0，x+3=0，
x1= ，x2=﹣3;
(2)原式= ﹣ × + ﹣ +1
= .
【点评】本题考查了解一元二次方程和特殊角的三角函数值的应用，能熟记解一元二次方程的解题思路和熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键.
18.△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B (1，1)，C(4，3).
(1)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A1BC1;
(2)求出(1)中点C旋转到C1所经过的路径长(结果保留π)
【考点】作-旋转变换;弧长的计算.
【专题】计算题;作题.
【分析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出点A、C的对应点A1、C1即可得到△A1BC1;
(2)由于点C旋转到C1所经过的路径为以B为圆心，BC为半径，圆心角为90度的弧，所以利用弧长公式可计算出点C旋转到C1所经过的路径长.
【解答】解：(1)△A1BC1为所作;
(2)BC= = ，
所以点C旋转到C1所经过的路径长= = π.
【点评】本题考查了作﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的形.
19.在“阳光体育”活动时间，九年级A，B，C，D四位同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选出两位同学打一场比赛，用画树状或列表的方法，求恰好选中A，C两位同学进行比赛的概率.
【考点】列表法与树状法.
【专题】计算题.
【分析】先画树状展示所有12种等可能的结果数，再找出选中A，C两位同学进行比赛的结果数，然后根据概率公式求解.
【解答】解：画树状为：
共有12种等可能的结果数，其中选中A，C两位同学进行比赛的结果数为2，
所以选中A，C两位同学进行比赛的概率= = .
【点评】本题考查了列表法与树状法：利用列表法和树状法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率.
20.小明坐于堤边垂钓，河堤AC的坡角为30°，AC长2 ，钓竿AO的倾斜角∠ODC是60°，其长OA为5米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离.
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠CAD=180°﹣∠ODB﹣∠ACD=90°，解Rt△ACD，得出AD=AC•tan∠ACD=2米，CD=2AD=3米，再证明△BOD是等边三角形，得到BD=OD=OA+AD=7米，然后根据BC=BD﹣CD即可求出浮漂B与河堤下端C之间的距离.
【解答】解：∵AO的倾斜角是60°，
∴∠ODB=60°.
∵∠ACD=30°，
∴∠CAD=180°﹣∠ODB﹣∠ACD=90°.
在Rt△ACD中，AD=AC•tan∠ACD=2 × =2(米)，
∴CD=2AD=4米，
又∵∠O=60°，
∴△BOD是等边三角形，
∴BD=OD=OA+AD=2+5=7(米)，
∴BC=BD﹣CD=7﹣4=3(米).
答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为3米.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据所给的倾斜角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解.
21.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=3x+1的象与y轴交于点A，与反比例函数y= 在第一象限内的象交于点B，且点B的横坐标为1，过点A作AC⊥y轴交反比例函数y= (k≠0)的象于点C，连接BC.
(1)求反比例函数的表达式及△ABC的面积;
(2)直接写出当x<1时，y= (k≠0)中y的取值范围.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】(1)先由一次函数y=3x+1的象过点B，且点B的横坐标为1，将x=1代入y=3x+1，求出y的值，得到点B的坐标，再将B点坐标代入y= ，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式;根据一次函数y=3x+1的象与y轴交于点A，求出点A的坐标为(0，1)，再将y=1代入y= ，求出x的值，那么AC=4.过B作BD⊥AC于D，则BD=yB﹣yC=4﹣1=3，然后根据S△ABC= AC•BD，将数值代入计算即可求解;
(2)根据x<1时，得到 ，于是得到y的取值范围.
【解答】解：(1)∵一次函数y=3x+1的象过点B，且点B的横坐标为1，
∴y=3×1+1=4，
∴点B的坐标为(1，4).
∵点B在反比例函数y= 的象上，
∴k=1×4=4，
∴反比例函数的表达式为y= ，
∵一次函数y=3x+1的象与y轴交于点A，
∴当x=0时，y=1，
∴点A的坐标为(0，1)，
∵AC⊥y轴，
∴点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，是1，
∵点C在反比例函数y= 的象上，
∴当y=1时，1= ，解得x=4，
∴AC=4.
过B作BD⊥AC于D，则BD=yB﹣yC=4﹣1=3，
∴S△ABC= AC•BD= ×4×3=6;
(2)由形得：∵当0
∴y>4，
当x<0时，y<0.
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数象上点的坐标特征，平行于y轴的直线上点的坐标特征，三角形的面积，难度适中.求出反比例函数的解析式是解题的关键.
22.在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB，分别交于点D、E，且∠CBD=∠A;
(1)判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论;
(2)若AD：AO=6：5，BC=2，求BD的长.
【考点】直线与圆的位置关系;直角三角形的性质;相似三角形的判定与性质.
【分析】(1)结论：BD是圆的切线，已知此线过圆O上点D，连接圆心O和点D(即为半径)，再证垂直即可;
(2)通过作辅助线，根据已知条件求出∠CBD的度数，在Rt△BCD中求解即可.
【解答】解：(1)直线BD与⊙O相切.
证明：连接OD.
∵OA=OD
∴∠A=∠ADO
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°
又∵∠CBD=∠A
∴∠ADO+∠CDB=90°
∴∠ODB=90°
∴直线BD与⊙O相切.
(2)解法一：连接DE.
∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°
∵AD：AO=6：5
∴cosA=AD：AE=3：5
∵∠C=90°，∠CBD=∠A
cos∠CBD=BC：BD=3：5
∵BC=2，BD= ;
解法二：过点O作OH⊥AD于点H.
∴AH=DH= AD
∵AD：AO=6：5
∴cosA=AH：AO=3：5
∵∠C=90°，∠CBD=∠A
∴cos∠CBD=BC：BD=3：5，
∵BC=2，
∴BD= .
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系、直角三角形的性质以及相似三角形的判定和性质.
23.神农尝百草，泡泡青菜便是其中之一，小随同学利用假期开网店批发出售泡泡青菜，他打出促销广告：最优质泡泡青菜35箱，每箱售价30元，若一次性购买不超过10箱时，售价不变;若一次性购买超过10箱时，没多买1箱，所买的每箱泡泡青菜的售价均降低0.3元.已知该青菜成本是每箱20元，若不计其他费用，设顾客一次性购买泡泡青菜x(x为整数)箱时，该网店从中获利y元.
(1)求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;
(2)顾客一次性购买多少箱时，该网店从中获利最多，最多是多少?
【考点】二次函数的应用.
【分析】(1)根据题意可得出销量乘以每台利润进而得出总利润，进而得出答案;
(2)根据销量乘以每台利润进而得出总利润，即可求出即可.
【解答】解：(1)y= ，
(2)在0≤x≤10时，y=10x，当x=10时，y有最大值100;
在10
当x=21 时，y取得最大值，
∵x为整数，根据抛物线的对称性得x=22时，y有最大值140.8.
∵140.8>100，
∴顾客一次购买22箱时，该网站从中获利最多，最多是140.8元.
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意得出y与x的函数关系是解题关键.
24.E是四边形ABCD的边AB上一点.
(1)猜想论证：，分别连接DE、CE，若∠A=∠B=∠DEC=65°，试猜想中哪两个三角形相似，并说明理由.
(2)观察作：‚，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在‚中矩形ABCD的边AB上画出所有满足条件的点E(点E与点A，B 不重合)，分别连结ED，EC，使四边形ABCD被分成的三个三角形相似(不证明).
(3)拓展探究：ƒ，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好将四边形ABCM分成的三个三角形相似，请直接写出 的值.
【考点】相似形综合题.
【专题】综合题;形的相似.
【分析】(1)△ADE∽△BEC，理由为：利用三角形内角和定理及邻补角定义得到一对角相等，再由已知角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证;
(2)②a与②b所示，点E为所求的点;
(3)由点E恰好将四边形ABCM分成的三个三角形相似，利用相似三角形对应角相等得到三个角相等，再由折叠的性质得到∠DCM=∠MCE=∠BCE=30°，EC=CD=AB，在Rt△BCE中，利用锐角三角函数定义求出所求式子比值即可.
【解答】解：(1)△ADE∽△BEC，理由为：
∵∠A=65°，
∴∠ADE+∠DEA=115°，
∵∠DEC=65°，
∴∠BEC+∠DEA=115°，
∴∠ADE=∠BEC，
∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC;
(2)作如下：
(3)∵点E恰好将四边形ABCM分成的三个三角形相似，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE=∠ECM=∠AEM，
由折叠可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，
∴∠BCE=∠ECM=∠DCM=30°，
∴DC=CE=AB，
在Rt△BCE中，cos∠BCE= =cos30°，
【点评】此题属于相似型综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键.
25.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A (1，0)、B(0，3)及C(3，0)点，动点D从原点O开始沿OB方向以每秒1个单位长度移动，动点E从点C开始沿CO方向以每秒1个长度单位移动，动点D、E同时出发，当动点E到达原点O时，点D、E停止运动.
(1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标;
(2)若F(﹣1，0)，求△DEF的面积S与E点运动时间t的函数解析式;当t为何值时，△DEF的面积最大?最大面积是多少?
(3)当△DEF的面积最大时，抛物线的对称轴上是否存在一点N，使△EBN是直角三角形?若存在，求出N点的坐标，若不存在，请说明理由.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标;
(2)根据三角形的面积公式，可得函数解析式，根据二次函数的性质，可得答案;
(3)根据勾股定理的逆定理，可得关于a的方程，根据解方程，可得N点坐标.
【解答】解：(1)将A (1，0)、B(0，3)及C(3，0)代入函数解析式，得
解得 ，
抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3，
配方，得y=(x﹣2)2﹣1，顶点P的坐标为(2，﹣1);
(2)1 ，
由题意，得
CE=t，OE=3﹣t，FE=4﹣t，OD=t.
S= FE•OD= (4﹣t)t=﹣ t2+2t=﹣ (t﹣2)2+2，
当t=2时，S最大=2;
(3)当△DEF的面积最大时，E(1，0)，设N(2，a)，
BN2=4+(a﹣3)2，EN2=1+a2，BE2=1+9=10，
①当BN2+EN2=BE2时，4+9﹣6a+a2+a2+1=10，化简，得
a2﹣3a+2=0，解得a=2，a=1，N(2，2)，N(2，1);
②当BN2+BE2=EN2时，4+9﹣6a+a2+10=1+a2，化简，得
6a=22，解得a= ，N(2， );
③当BE2+EN2=BN2时，1+a2+10=4+9﹣6a+a2，
化简，得
6a=2，解得a= ，N(2， )，
综上所述：N点的坐标(2，2)，(2，1)，(2， )，(2， ).
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数求函数解析式;利用二次函数的性质求面积的最大值;利用勾股定理的逆定理得出关于a的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏.
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