高一数学函数学习方法

高一数学函数学习方法

　　函数是高中数学学习里的重点内容。下面是学习啦小编网络收集整理的高一数学函数学习方法以供大家学习。

　　高一数学函数学习方法之观察法

　　通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

　　例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域。

　　点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2-3x) 的值域。

　　解：由算术平方根的性质，知√(2-3x)≥0，

　　故3+√(2-3x)≥3。

　　点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。

　　本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

　　练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝)

　　高一数学函数学习方法之反函数法

　　当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

　　例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

　　点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

　　解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R｝。

　　点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

　　练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函数的值域为{y∣y<-1或y>1｝)

　　高一数学函数学习方法之配方法

　　当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

　　例3：求函数y=√(-x2+x+2)的值域。

　　点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

　　解：由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1，2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]

　　∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]

　　点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。

　　练习：求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})

　　高一数学函数学习方法之判别式法

　　若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

　　例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

　　点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。

　　解：将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)

　　当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2

　　当y=2时,方程(*)无解。∴函数的值域为2

　　点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。

　　练习：求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域为y≤-8或y>0)。

　　高一数学函数学习方法之最值法

　　对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。

　　例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。

　　点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。

　　解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),

　　∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。

　　当x=-1时，z=-5;当x=3/2时，z=15/4。

　　∴函数z的值域为{z∣-5≤z≤15/4｝。

　　点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。

　　高一数学函数学习方法之图象法

　　通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。

　　高一数学函数学习方法之单调法

　　利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

　　例1求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。

　　点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= -√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。

　　高一数学函数学习方法之换元法

　　以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。

　　例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。

　　点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。

　　高一数学函数学习方法之比例法

　　对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。

　　例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。

　　点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。

　　解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)

　　∴x=3+4k,y=1+3k,

　　∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。

　　当k=-3/5时，x=3/5,y=-4/5时，zmin=1。

　　函数的值域为{z|z≥1｝.

　　有关高中数学函数学习方法推荐：

　　函数把运动学带进了数学.函数本身讲的是数的互动，而静则是运动过程中的某一即时状态.动以静为参照，没有参照物的运动是没有意义的，同样没有“静数”的函数也无意义.当变量(动数)的个数较多时，我们先考虑一对互动中的变数，而把其他变数暂视静止(常数或参数)。今天我们就来告诉大家高中数学函数学习技巧。

　　例如，考虑二次函数y=ax2+bx+c时，是把x,y看作一对互动的变数，而把a,b,c看作“静数”.其实，a,b,c也在变化，只是要等到需要考虑它们的变化时再把它们视作变数.?

　　?●典例示范?

　　【例1】 设双曲线 与直线x+y=1相交于两个不同的点A和B，求双曲线离心率的取值范围.?

　　【分析】 求取值范围就是求离心率e的值域.为此，我们要寻求e的函数式.?

　　【解答】 按双曲线离心率的关系式，有 ??

　　【插语】 公式e= 本来是“静式”，现在让其运动起来，成了函数式f (a).启发我们求函数e=f (a)的定义域，即a的取值范围.?

　　【续解】 由双曲线与直线相交于两点，得方程组?

　　【插语】 我们并非要从这个方程中解得x和y的值，而是要由“方程组有2个解”的条件求出a2的取值范围.?

　　【续解】 消y后整理得?

　　函数e=f (a)= 在(0，1)和(1， )上都是减函数，故有f (a)> 且f (a)≠ .即所求范围是 .?

　　【点评】 函数解题，动静相依，动静互控，从而实现由简单函数与复合函数的互动，以及函数与方程，函数与不等式的互动.?

　　【附录】 以下我们用函数性质讨论a2的取值范围.?

　　由方程组解得：a2=h(x)= .由于 ≠0,所以a2≠1.因为 ，所以a2≤2.?

　　由于相交的两点A、B对应着不同的x值，因此a2到x的对应是1对2，因此在h (x)中x2,由此得到a2≠2. 故有a2<2.?

　　【例2】 解方程(x+6)2003+x2003+2x+6=0.?

　　【解答】 将原方程变形得(x+6)2003+(x+6)=(-x)2003+(-x).?

　　由方程的特点，我们构造函数f x)=x2003+x，知f (x)是x∈R上的单调递增函数，又f (x+6)= f (-x),故x+6=-x，即x=-3.?

　　【点评】 此题从方程的特点入手，利用函数思想，构造了函数f (x)=x2003+x，把解方程的问题变为讨论函数的性质的问题，巧妙地求出了方程的解.??

　　【例3】 在xOy平面上给定一曲线y2-2x=0.?

　　(Ⅰ)设点A的坐标为( ,0)，曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|.?

　　(Ⅱ)设点A的坐标为(a,0)，a∈R，曲线上点到点A的距离的最小值.?

　　【解答】 (Ⅰ)设P(x,y)为曲线上任意一点，y2=2x(x≥0),。