高中数学和差化积公式的记忆诀窍

高中数学和差化积公式的记忆诀窍

　　积化和差，指初等数学三角函数部分的一组恒等式。可以通过展开角的和差恒等式的手段来证明。 无论乘积项中的三角函数是否同名，化为和差形式时，都应是同名三角函数的和差。这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。

　　积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角;结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。

　　和差化积公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了各自的简单记忆方法。

　　如何只记两个公式甚至一个

　　我们可以只记上面四个公式的第一个和第三个。

　　而第二个公式中的-sin β=sin(β+π)，也就是sin α-sin β=sin α+sin(β+π)，这就可以用第一个公式解决。

　　同理第四个公式中，cos α-cos β=cos α+cos(β+π)，这就可以用第三个公式解决。

　　如果对诱导公式足够熟悉，可以在运算时把cos全部转化为sin，那样就只记住第一个公式就行了。

　　用的时候想得起一两个就行了。

　　结果乘以2

　　这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1]，其积的值域也应该是[-1,1]，而和差的值域却是[-2,2]，因此乘以2是必须的。

　　也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：

　　cos(α-β)-cos(α+β)

　　=[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)]

　　=2sinαsinβ

　　故最后需要乘以2。

　　只有同名三角函数能和差化积

　　无论是正弦函数还是余弦函数，都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。

　　乘积项中的角要除以2

　　在和差化积公式的证明中，必须先把α和β表示成两角和差的形式，才能够展开。熟知要使两个角的和、差分别等于α和β，这两个角应该是(α+β)/2和(α-β)/2，也就是乘积项中角的形式。

　　注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”，但位置不同;而只有和差化积公式中有“乘以2”。

　　使用哪两种三角函数的积

　　这一点较好的记忆方法是拆分成两点，一是是否同名乘积，二是“半差角”(α-β)/2的三角函数名。

　　是否同名乘积，仍然要根据证明记忆。注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。所以，余弦的和差化作同名三角函数的乘积;正弦的和差化作异名三角函数的乘积。

　　(α-β)/2的三角函数名规律为：和化为积时，以cos(α-β)/2的形式出现;反之，以sin(α-β)/2的形式出现。

　　由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。如果要使和化为积，那么α和β调换位置对结果没有影响，也就是若把(α-β)/2替换为(β-α)/2，结果应当是一样的，从而(α-β)/2的形式是cos(α-β)/2;另一种情况可以类似说明。

　　余弦-余弦差公式中的顺序相反/负号

　　这是一个特殊情况，完全可以死记下来。

　　当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如(0，π]内余弦函数的单调性。因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以当α大于β时，cosα小于cosβ。但是这时对应的(α+β)/2和(α-β)/2在(0，π)的范围内，其正弦的乘积应大于0，所以要么反过来把cosβ放到cosα前面，要么就在式子的最前面加上负号。