高中数学数列通项公式的求法
数列通项公式是高中数学的重点与难点，那么数列通项公式的有什么求解方法呢?下面由学习啦小编告诉你答案。
高中数学数列通项公式的求法总结
一、一阶线性递推数列求通项问题
一阶线性递推数列主要有如下几种形式：
1.
这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n项和).
当
为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式.而当
为等差数列时，则
为二阶等差数列，其通项公式应当为
形式，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是
，其常数项一定为0. 2.
这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n项积).
当
为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式. 3.
; 这类数列通常可转化为
，或消去常数转化为二阶递推式
. 例1已知数列
中，
,求
的通项公式. 解析：解法一：转化为
型递推数列. ∵
∴
又
，故数列{
｝是首项为2，公比为2的等比数列.∴
，即
. 解法二：转化为
型递推数列. ∵
=2xn-1+1(n≥2) ① ∴
=2xn+1 ② ②-①，得
(n≥2)，故{
｝是首项为x2-x1=2，公比为2的等比数列，即
，再用累加法得
.
解法三：用迭代法.
当然,此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明. 例2 已知函数
的反函数为
求数列
的通项公式. 解析：由已知得
，则
. 令
=,则
.比较系数，得
. 即有
.∴数列{
｝是以
为首项，
为公比的等比数列，∴
，故
.
评析：此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之.
(4)
若取倒数,得
，令
，从而转化为(1)型而求之. (5)
; 这类数列可变换成
，令
，则转化为(1)型一阶线性递推公式. 例3 设数列
求数列
的通项公式. 解析：∵
，两边同除以
，得
.令
，则有
.于是，得
，∴数列
是以首项为
，公比为
的等比数列，故
，即
，从而
. 例4 设
求数列
的通项公式. 解析：设
用
代入，可解出
. ∴
是以公比为-2，首项为
的等比数列. ∴
，即
. (6)
这类数列可取对数得
，从而转化为等差数列型递推数列.
二、可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列
例5 设数列
求数列
的通项公式. 解析：由
可得
设
故
即
用累加法得
或
例6 在数列
求数列
的通项公式.
解析：可用换元法将其转化为一阶线性递推数列.
令
使数列
是以
为公比的等比数列(
待定). 即
∴
对照已给递推式， 有
即
的两个实根. 从而
∴
① 或
② 由式①得
;由式②得
. 消去
. 例7 在数列
求
. 解析：由
①，得
②. 式②+式①，得
，从而有
.∴数列
是以6为其周期.故
=
=-1.
三、特殊的n阶递推数列
例8 已知数列
满足
，求
的通项公式. 解析：∵
① ∴
② ②-①，得
.∴
故有
将这几个式子累乘，得
又
例9 数列{
｝满足
，求数列{
｝的同项公式. 解析：由
①，得
②. 式①-式②，得
，或
，故有
. ∴
,
. 将上面几个式子累乘，得
，即
. ∵
也满足上式，∴
.高中数学常见数列通项公式
累加法
递推公式为a(n+1)=an+f(n)，且f(n)可以求和
例：数列{an}，满足a1=1/2，a(n+1)=an+1/(4n^2-1)，求{an}通项公式
解：a(n+1)=an+1/(4n^2-1)=an+[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2
∴an=a1+(1-1/3+1/3-1/5+……+1/(2n-3)-1/(2n-1))
∴an=1/2+1/2 (1-1/(2n-1))=(4n-3)/(4n-2)
累乘法
递推公式为a(n+1)/an=f(n),且f(n)可求积
例：数列{an}满足a(n+1)=(n+2)/n an，且a1=4，求an
解：an/a1=an/a(n-1)×a(n-1)/a(n-2)×……×a2/a1=2n(n+1)
构造法
将非等差数列、等比数列，转换成相关的等差等比数列
连加相减，连乘相除
例：{an}满足a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2)
解：令bn=a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2)
nan=bn-b(n-1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)
∴an=3(n+1)
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2.高中数学证明方法
高中数学数列通项公式的求法
