高二数学下册等差数列单元训练题及答案
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高二数学下册等差数列单元训练题及答案
一、选择题(每小题6分，共42分)
1.等差数列{an}前四项和为40，末四项和为72，所有项和为140，则该数列共有( )
A.9项 B.12项 C.10项 D.13项
【答案】C
【解析】∵a1+a2+a3+a4=40,
an+an-1+an-2+an-3=72.
∴a1+an= =28.
又 =140,
故n=10.
2.给出下列等式：(ⅰ)an+1-an=p(p为常数);(ⅱ)2an+1=an+an+2(n∈N*);(ⅲ)an=kn+b(k,b为常数)则无穷数列{an}为等差数列的充要条件是( )
A.(ⅰ) B.(ⅰ)(ⅲ)
C.(ⅰ)(ⅱ) D.(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)
【答案】D
【解析】易知三个都是，另外还有一个常见的是{an}的前n项和Sn=an2+bn，(a,b为常数).
3.等差数列{an}中，若a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于( )
A.66 B.99 C.144 D.297
【答案】B
【解析】a1+a4+a7=39 a4=13,a3+a6+a9=27 a6=9，
S9= =99.
4.等差数列{an}的公差为d,前n项的和为Sn,当首项a1和d变化时,a2+a8+a11是一个定值,则下列各数中也为定值的是( )
A.S7 B.S8 C.S13 D.S15
【答案】C
【解析】因a2+a8+a11=3a7,故a7为定值.
又S13= =13a7,
∴选C.
5.已知数列{an}中,a3=2,a7=1,又数列{ }是等差数列,则a11等于( )
A.0 B. C. D.-1
【答案】B
【解析】∵ +(7-3)d,
∴d= .
∴ +(11-3)d= ,
a11= .
6.已知数列{an}的通项为an=26-2n,若要使此数列的前n项之和Sn最大,则n的值是( )
A.12 B.13 C.12或13 D.14
【答案】C
【解析】由 得12≤n≤13,
故n=12或13.
7.在等差数列{an}中, <-1,若它的前n项和Sn有最大值,则下列各数中是Sn的最小正数值的是( )
A.S1 B.S38 C.S39 D.S40
【答案】C
【解析】因Sn有最大值,故d<0,又 <0.
因a210,a20+a21<0.
∴S40=20(a1+a40)=20(a20+a21)<0.
S39=39a20>0,S39-S38=a39<0.
又S39-S1=a2+a3+…+a39=19(a2+a39)=19(a1+a40)<0,
故选C.
二、填空题(每小题5分，共15分)
8.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下图的规律拼成若干个图案:
则第n个图案中有白色地面砖_____________块.
【答案】4n+2
【解析】每增加一块黑砖,则增加4块白砖,故白砖数构成首项为6,公差为4的等差数列,故an=6+4(n-1)=4n+2.
9.设f(x)= ,利用课本中推导等差数列前n项和方法,求f( )+f( )+…+f( )的值为_________________.
【答案】5
【解析】当x1+x2=1时,f(x1)+f(x2)
= =1.
设S=f( )+f( )+…+f( ),倒序相加有
2S=[f( )+f( )]+[f( )+f( )]+…+[f( )+f( )]=10.
即S=5.
10.数列1,2+3,4+5+6,7+8+9+10,…,的一个通项公式an=__________________.
【答案】
【解析】前n项一共有1+2+3+…+n= 个自然数,设Sn=1+2+3+…+n= ,则
an= .
三、解答题(11—13题每小题10分，14题13分，共43分)
11.{an}是等差数列，公差d>0，Sn是{an}的前n项和，已知a2a3=40,S4=26.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)令bn= ，求数列{bn}的所有项之和T.
【解析】(1)S4= (a1+a4)=2(a2+a3)=26.
又∵a2a3=40,d>0，
∴a2=5,a3=8,d=3.
∴an=a2+(n-2)d=3n-1.
(2)bn= =
Tn= .
12.已知f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7,
(1)设f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：{an}为等差数列;
(2)设f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成{bn},求{bn}的前n项和.
(1)证明：f(x)=[x-(n+1)2]+3n-8,
∴an=3n-8.∵an-1-an=3,
∴{an}为等差数列.
(2)【解析】bn=|3n-8|,
当1≤n≤2时，bn=8-3n,b1=5.
Sn= ;
当n≥3时，bn=3n-8.
Sn=5+2+1+4+…+(3n-8)
13.假设你在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案：
(Ⅰ)每年年末加1 000元;
(Ⅱ)每半年结束时加300元.请你选择.
(1)如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元?
(2)对于你而言，你会选择其中的哪一种?
【解析】设方案一第n年年末加薪an,因为每年末加薪1 000元，则an=1 000n;设方案二第n个半年加薪bn，因为每半年加薪300元，则bn=300n.
(1)在该公司干10年(20个半年)，方案(Ⅰ)共加薪S10=a1+a2+…+a10=55 000(元).
方案(Ⅱ)共加薪T20=b1+b2+…+b20=20×300+ ×300=63 000元.
(2)设在该公司干n年，两种方案共加薪分别为：
Sn=a1+a2+…+an=1 000×n+ ×1 000=500n2+500n,
T2n=b1+b2+…+b20=2n×300+ ×300=600n2+300n;
令T2n≥Sn即600n2+300n>500n2+500n,解得，n≥2,当n=2时等号成立.
∴如果干3年以上(包括3年)应选择第二方案;如果只干2年，随便选;如果只干1年，当然选择第一方案.
14.设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,且对于所有的正整数n,有an=2 -2.
(1)写出数列{an}的三项;
(2)求数列{an}的通项公式,并写出推证过程;
(3)令bn= ,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)由题意，当n=1时，有a1=2 -2,S1=a1，
∴a1=2 -2,解得a1=2.
当n=2时，有a2=2 -2,S2=a1+a2,
将a1=2代入，整理得(a2-2)2=16,
由a2>0，解得a2=6.
当n=3时，有a3=2 -2,S3=a1+a2+a3,
将a1=2,a2=6代入，整理得(a3-2)2=64,
由a3>0，解得a3=10.
所以该数列的前三项分别为2，6，10.
(2)由an=2 -2(n∈N*),整理得Sn= (an+2)2,
则Sn+1= (an+1+2)2,
∴an+1=Sn+1-Sn= [(an+1+2)2-(an+2)2].
整理，得(an+1+an)(an+1-an-4)=0,
由题意知an+1+an≠0,∴an+1-an=4.
∴即数列{an}为等差数列，其中首项a1=2，公差d=4,
∴an=a1+(n-1)d=2+4(n-1).
即通项公式为an=4n-2(n∈N*).
(3)bn= ,
Tn=b1+b2+…+bn
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