高二数学必修三理科期末试卷
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高二数学必修三理科期末试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
1.如果a>b>0，那么下列不等式成立的是( )
A.a2>ab B.ab D. >
2.“∀x∈R，x2﹣2>0”的否定是( )
A.∀x∈R，x2﹣2<0 B.∀x∈R，x2﹣2≤0
C.∃x0∈R，x ﹣2<0 D.∃x0∈R，x ﹣2≤0
3.在等差数列{an}中，a5=5，a10=15，则a15=( )
A.20 B.25 C.45 D.75
4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=3，A=45°，B=60°，则b=( )
A. B. C. D.
5.函数y=lnx+x在点(1，1)处的切线方程是( )
A.2x﹣y﹣1=0 B.2x+y﹣1=0 C.x﹣2y+1=0 D.x+2y﹣1=0
6.“m>0”是“x2+x+m=0无实根”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图，则f(x)的极值点有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
8.已知数列{an}是递增的等比数列，a1+a5=17，a2a4=16，则公比q=( )
A.﹣4 B.4 C.﹣2 D.2
9.经过点(3，﹣ )的双曲线 ﹣ =1，其一条渐近线方程为y= x，该双曲线的焦距为( )
A. B.2 C.2 D.4
10.若函数f(x)=x4﹣ax2﹣bx﹣1在x=1处有极值，则9a+3b的最小值为( )
A.4 B.9 C.18 D.81
11.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线DC1与平面A1BD所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
12.设椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，|PF1|=λ|PF2|( ≤λ≤2)，∠F1PF2= ，则椭圆离心率的取值范围为( )
A.(0， ] B.[ ， ] C.[ ， ] D.[ ，1)
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.
13.已知 =(2，3，1)， =(x，y，2)，若 ∥ ，则x+y= .
14.若变量x，y满足约束条件 ，则z=x﹣2y的最小值为 .
15.已知在观测点P处测得在正东方向A处一轮船正在沿正北方向匀速航行，经过1小时后在观测点P测得轮船位于北偏东60°方向B处，又经过t小时发现该轮船在北偏东45°方向C处，则t= .
16.对于正整数n，设曲线y=xn(2﹣x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{an}的前n项和为Sn= .
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知等差数列{an}，公差为2，的前n项和为Sn，且a1，S2，S4成等比数列，
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn= (n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
18.△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知(a+c)2﹣b2=3ac
(1)求角B;
(2)当b=6，sinC=2sinA时，求△ABC的面积.
19.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，C上一点(3，m)到焦点的距离为5.
(1)求C的方程;
(2)过F作直线l，交C于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为﹣1，求直线l的方程.
20.如图，在多面体ABCDE中，∠BAC=90°，AB=AC=2，CD=2AE=2，AE∥CD，且AE⊥底面ABC，F为BC的中点.
(Ⅰ)求证：AF⊥BD;
(Ⅱ)求二面角A﹣BE﹣D的余弦值.
21.已知函数f(x)=ax2+bx在x=1处取得极值2.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若(m+3)x﹣x2ex+2x2≤f(x)对于任意的x∈(0，+∞)成立，求实数m的取值范围.
22.曲线C上的动点M到定点F(1，0)的距离和它到定直线x=3的距离之比是1： .
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)过点F(1，0)的直线l与C交于A，B两点，当△ABO面积为 时，求直线l的方程.
高二数学必修三理科期末试卷参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
1.如果a>b>0，那么下列不等式成立的是( )
A.a2>ab B.ab D. >
【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论.
【解答】解：∵a>b>0，
∴a2>ab，ab>b2， ，b2
故选：A.
【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
2.“∀x∈R，x2﹣2>0”的否定是( )
A.∀x∈R，x2﹣2<0 B.∀x∈R，x2﹣2≤0
C.∃x0∈R，x ﹣2<0 D.∃x0∈R，x ﹣2≤0
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可.
【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，
即∃x0∈R，x ﹣2≤0，
故选：D.
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础.
3.在等差数列{an}中，a5=5，a10=15，则a15=( )
A.20 B.25 C.45 D.75
【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列的第15项.
【解答】解：∵在等差数列{an}中，a5=5，a10=15，
∴ ，
解得a1=﹣3，d=2，
∴a15=﹣3+14×2=25.
故选：B.
【点评】本题考查等差数列的第15项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用.
4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=3，A=45°，B=60°，则b=( )
A. B. C. D.
【分析】由已知利用正弦定理即可求值得解.
【解答】解：∵a=3，A=45°，B=60°，
∴由正弦定理可得：b= = = .
故选：B.
【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.
5.函数y=lnx+x在点(1，1)处的切线方程是( )
A.2x﹣y﹣1=0 B.2x+y﹣1=0 C.x﹣2y+1=0 D.x+2y﹣1=0
【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可.
【解答】解：函数的导数为f′(x)= +1，
则f′(1)=1+1=2，
即切线斜率k=2，
则函数y=lnx+x在点(1，1)处的切线方程是y﹣1=2(x﹣1)，
即2x﹣y﹣1=0，
故选：A.
【点评】本题主要考查函数的切线的求解，求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键.
6.“m>0”是“x2+x+m=0无实根”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【分析】x2+x+m=0无实根⇔△<0，即可判断出结论.
【解答】解：x2+x+m=0无实根⇔△=1﹣4m<0，⇔m .
∴“m>0”是“x2+x+m=0无实根”的必要不充分条件，
故选：B.
【点评】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
7.函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图，则f(x)的极值点有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【分析】结合图象，根据导数大于零，即导函数的图象在x轴上方，说明原函数在该区间上是单调递增，否则为减函数，极大值点两侧导数的符号，从左往右，符号相反，因此根据图象即可求得极值点的个数，
【解答】解：结合函数图象，根据极值的定义可知在该点处从左向右导数符号相反，
从图象上可看出符合条件的有3点，
故选：A.
【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件，以及学生的识图能力.属于基础题.
8.已知数列{an}是递增的等比数列，a1+a5=17，a2a4=16，则公比q=( )
A.﹣4 B.4 C.﹣2 D.2
【分析】设等比数列{an}是公比为q的递增的等比数列，运用等比数列的性质，求得a1=1，a5=16，再由等比数列的通项公式求得公比即可.
【解答】解：设等比数列{an}是公比为q的递增的等比数列，
由a2a4=16，可得a1a5=16，
又a1+a5=17，解得 或 (不合题意，舍去)，
即有q4=16，解得q=2(负的舍去).
故选：D.
【点评】本题考查等比数列的通项公式的运用，是基础题.
9.经过点(3，﹣ )的双曲线 ﹣ =1，其一条渐近线方程为y= x，该双曲线的焦距为( )
A. B.2 C.2 D.4
【分析】将点(3，﹣ )代入双曲线的方程，由渐近线方程可得 = ，解得a，b，可得c=2，进而得到焦距2c=4.
【解答】解：点(3，﹣ )在双曲线 ﹣ =1上，可得
﹣ =1，
又渐近线方程为y=± x，一条渐近线方程为y= x，
可得 = ，
解得a= ，b=1，
可得c= =2，
即有焦距为2c=4.
故选：D.
【点评】本题考查双曲线的焦距的求法，注意运用点满足双曲线的方程和渐近线方程的运用，考查运算能力，属于基础题.
10.若函数f(x)=x4﹣ax2﹣bx﹣1在x=1处有极值，则9a+3b的最小值为( )
A.4 B.9 C.18 D.81
【分析】求出函数的导数，得到2a+b=4，根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可.
【解答】解：f′(x)=4x3﹣2ax﹣b，
若f(x)在x=1处有极值，
则f′(x)=4﹣2a﹣b=0，
∴2a+b=4，
∴9a+3b=32a+3b≥2 =18，
当且仅当9a=3b时“=”成立，
故选：C.
【点评】本题考查了导数的应用，考查基本不等式的性质，是一道基础题.
11.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线DC1与平面A1BD所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DC1与平面A1BD所成角的余弦值.
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，
则D(0，0，0)，C1(0，1，1)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，
=(0，1，1)， =(1，0，1)， =(1，1，0)，
设平面A1BD的法向量 =(x，y，z)，
则 ，取x=1，得 =(1，﹣1，﹣1)，
设直线DC1与平面A1BD所成角为θ，
则sinθ= = = ，
∴cosθ= = .
∴直线DC1与平面A1BD所成角的余弦值为 .
故选：C.
【点评】本题考查直线与平面所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.
12.设椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，|PF1|=λ|PF2|( ≤λ≤2)，∠F1PF2= ，则椭圆离心率的取值范围为( )
A.(0， ] B.[ ， ] C.[ ， ] D.[ ，1)
【分析】设F1(﹣c，0)，F2(c，0)，运用椭圆的定义和勾股定理，求得e2= ，令m=λ+1，可得λ=m﹣1，即有 = =2( ﹣ )2+ ，运用二次函数的最值的求法，解不等式可得所求范围.
【解答】解：设F1(﹣c，0)，F2(c，0)，由椭圆的定义可得，|PF1|+|PF2|=2a，
可设|PF2|=t，可得|PF1|=λt，
即有(λ+1)t=2a①
由∠F1PF2= ，可得|PF1|2+|PF2|2=4c2，
即为(λ2+1)t2=4c2，②
由②÷①2，可得e2= ，
令m=λ+1，可得λ=m﹣1，
即有 = =2( ﹣ )2+ ，
由 ≤λ≤2，可得 ≤m≤3，即 ≤ ≤ ，
则m=2时，取得最小值 ;m= 或3时，取得最大值 .
即有 ≤e2≤ ，解得 ≤e≤ .
故选：B.
【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的范围，同时考查不等式的解法，属于中档题.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.
13.已知 =(2，3，1)， =(x，y，2)，若 ∥ ，则x+y= 10 .
【分析】根据向量的共线定理，列出方程组求出x、y的值，再计算x+y的值.
【解答】解：∵ =(2，3，1)， =(x，y，2)，且 ∥ ，
∴ = = ，
解得x=4，y=6;
∴x+y=10.
故答案为：10.
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题.
14.若变量x，y满足约束条件 ，则z=x﹣2y的最小值为 ﹣2 .
【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y= x可得结论.
【解答】解：作出约束条件 所对应的可行域(如图△ABC)，
变形目标函数可得y= x﹣ z，平移直线y= x可知，
当直线经过点A( ， )时，直线的截距最大，z取最小值﹣2，
故答案为：﹣2.
【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题.
15.已知在观测点P处测得在正东方向A处一轮船正在沿正北方向匀速航行，经过1小时后在观测点P测得轮船位于北偏东60°方向B处，又经过t小时发现该轮船在北偏东45°方向C处，则t= .
【分析】设轮船的速度为v，求出BC，即可得出结论.
【解答】解：设轮船的速度为v，则AB=v，PA=AC= v，
∴BC=( ﹣1)v，
∴t= = .
故答案为： .
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.
16.对于正整数n，设曲线y=xn(2﹣x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{an}的前n项和为Sn= 2n+2﹣4 .
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程为y=﹣2n(x﹣2)，从而得到an=2n+1，利用等比数列的求和公式能求出Sn.
【解答】解：∵y=xn(2﹣x)，∴y'=2nxn﹣1﹣(n+1)xn，
∴曲线y=xn(2﹣x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n﹣(n+1)2n=﹣2n，
切点为(2，0)，
∴切线方程为y=﹣2n(x﹣2)，
令x=0得an=2n+1，
∴Sn= =2n+2﹣4，
故答案为：2n+2﹣4.
【点评】考查学生利用导数研究曲线上某点切线方程的能力，以及利用等比数列的求和公式进行数列求和的能力.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知等差数列{an}，公差为2，的前n项和为Sn，且a1，S2，S4成等比数列，
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn= (n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
【分析】(1))由a1，S2，S4成等比数列得 .化简解得a1，再利用等差数列的通项公式即可得出;
(2)利用“裂项求和”即可得出.
【解答】解：(1))由a1，S2，S4成等比数列得 .
化简得 ，又d=2，解得a1=1，
故数列{an}的通项公式 …
(2)∵ ∴由(1)得 ，
∴ = ….
【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
18.△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知(a+c)2﹣b2=3ac
(1)求角B;
(2)当b=6，sinC=2sinA时，求△ABC的面积.
【分析】(1)由余弦定理变形已知式子可得cosB的值，可得B值;
(2)由题意和正弦定理可得c=2a，代入b2=a2﹣ac+c2可得a和c的值，可得三角形为直角三角形，由面积公式可得.
【解答】解：(1)∵(a+c)2﹣b2=3ac，∴b2=a2﹣ac+c2，
∴ac=a2+c2﹣b2，∴
∵B∈(0，π)，∴ ;
(2)∵sinC=2sinA，∴由正弦定理可得c=2a，
代入b2=a2﹣ac+c2可得36=a2+4a2﹣2a2，
解得 ， ，满足a2+b2=c2，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的面积S= ×2 ×6=6 .
【点评】本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属基础题.
19.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，C上一点(3，m)到焦点的距离为5.
(1)求C的方程;
(2)过F作直线l，交C于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为﹣1，求直线l的方程.
【分析】(1)利用抛物线的定义，求出p，即可求C的方程;
(2)利用点差法求出直线l的斜率，即可求直线l的方程.
【解答】解：(1)抛物线C：y2=2px(p>0)的准线方程为 ，
由抛物线的定义可知
解得p=4
∴C的方程为y2=8x.
(2)由(1)得抛物线C的方程为y2=8x，焦点F(2，0)
设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
两式相减.整理得
∵线段AB中点的纵坐标为﹣1
∴直线l的斜率
直线l的方程为y﹣0=﹣4(x﹣2)即4x+y﹣8=0
【点评】本题考查抛物线的定义与方程，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.
20.如图，在多面体ABCDE中，∠BAC=90°，AB=AC=2，CD=2AE=2，AE∥CD，且AE⊥底面ABC，F为BC的中点.
(Ⅰ)求证：AF⊥BD;
(Ⅱ)求二面角A﹣BE﹣D的余弦值.
【分析】(1)推导出AF⊥BC，从而AF⊥DC，进而AF⊥面BCD，由此能证明AF⊥BD.
(2)以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BE﹣D的余弦值.
【解答】证明：(1)∵AB=AC，F为BC的中点，
∴AF⊥BC，又AE∥CD，且AE⊥底面ABC，AF⊂底面ABC，
∴AF⊥DC，又BC∩DC=C，且BC、DC⊂面BCD，
∴AF⊥面BCD，又BD⊂面BCD，∴AF⊥BD.…
解：(2)以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AE为z轴，建立空间直角坐标系如图，
∴B(2，0，0)，D(0，2，2)，E(0，0，1)，
， ，
设面BED的一个法向量为 ，
则 ，令z=2得x=1，y=﹣1，∴ ，
又面ABE的一个法向量为 ，
∴ ，
∵二面角A﹣BE﹣D的平面角是锐角，
∴二面角A﹣BE﹣D的余弦值为 .…
【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.
21.已知函数f(x)=ax2+bx在x=1处取得极值2.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若(m+3)x﹣x2ex+2x2≤f(x)对于任意的x∈(0，+∞)成立，求实数m的取值范围.
【分析】(Ⅰ)根据极值的定义得到关于a，b的方程组，求出a，b的值，从而求出f(x)的表达式;
(Ⅱ)问题等价于m≤xex﹣x2﹣2x于任意的x∈(0，+∞)成立，设h(x)=xex﹣x2﹣2x，根据函数的单调性求出m的范围即可.
【解答】解：(Ⅰ)∵函数f(x)=ax3+bx在x=1处取得极值2，
∴ ，解得 ，
∴f(x)=﹣x3+3x…
(Ⅱ)∵(m+3)x﹣x2ex+2x2≤f(x)对于任意的x∈(0，+∞)成立，
∴(m+3)x﹣x2ex+2x2≤﹣x3+3x
⇔m≤xex﹣x2﹣2x于任意的x∈(0，+∞)成立
设h(x)=xex﹣x2﹣2x，
则h′(x)=ex+xex﹣2x﹣2=(x+1)(ex﹣2)，
令h′(x)=0解得x=ln2，
且当0
当x>ln2时，h′(x)>0，
∴h(x)=xex﹣x2﹣2x在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，+∞)上单调递增，
∴ ，
∴m≤﹣(ln2)2.
【点评】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题.
22.曲线C上的动点M到定点F(1，0)的距离和它到定直线x=3的距离之比是1： .
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)过点F(1，0)的直线l与C交于A，B两点，当△ABO面积为 时，求直线l的方程.
【分析】(Ⅰ)设M(x，y)，运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，化简整理即可得到所求方程;
(Ⅱ)当l斜率不存在时，l方程为x=1，求得A，B的坐标，以及△ABO的面积;由直线l斜率存在，设l方程为y=k(x﹣1)，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，解方程可得斜率k，进而得到所求直线的方程.
【解答】解：(Ⅰ)设M(x，y)
由题意可得， ，
整理得 ，
则曲线C的方程为 ;
(Ⅱ)当l斜率不存在时，l方程为x=1，
此时l与C的交点分别为 ， ，
即有 ，
则 ，
由直线l斜率存在，设l方程为y=k(x﹣1)，
由 ，
得 ， ，
∴ .
设O到l的距离为d，则 ，
∴ ，
解得k=±1.
综上所述，当△ABO面积为 时，l的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1.
【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标法，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题.
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