高二数学必修4第三单元重要知识点

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　　高二数学必修4第三单元重要知识点

　　1.正弦、余弦公式的逆向思维

　　对于形如cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)这样的形式，运用逆向思维，化解为：

　　cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)=cos[(α-β)+β]=cos(α)

　　2.正切公式的逆向思维。

　　比如，由tαn(α+β)=[tαn(α)+tαn(β)] / [1-tαn(α)tαn(β)]

　　可得：

　　tαn(α)+tαn(β)=tαn(α+β)[1-tαn(α)tαn(β)]

　　[1-tαn(α)tαn(β)]=[tαn(α)+tαn(β)]/ tαn(α+β)

　　tαn(α)tαn(β)tαn(α+β)=tαn(α+β)-tαn(α)-tαn(β)

　　3.二倍角公式的灵活转化

　　比如：1+sin2α=sin2(α)+cos2(α)+2sin(α)cos(α)

　　=[sin(α)+cos(α)]2

　　cos(2α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α)=cos2(α)-sin2(α)=[cos(α)+sin(α)][cos(α)-sin(α)]

　　cos2(α)=[1+cos(2α)]/2

　　sin2(α)=[1-cos(2α)]/2

　　1+cos(α)=2cos2(α/2)

　　1-cos(α)=2sin2(α/2)

　　sin(2α)/2sin(α)=2sin(α)cos(α)/2sin(α)=cos(α)

　　sin(2α)/2cos(α)=2sin(α)cos(α)/2cos(α)=sin(α)

　　4.两角和差正弦、余弦公式的相加减、相比。

　　比如：

　　sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)……1

　　sin(α-β)=sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)……2

　　1式+2式，得到

　　sin(α+β)+sin(α-β)=2sin(α)cos(β)

　　1式-2式，得到

　　sin(α+β)-sin(α-β)=2cos(α)sin(β)

　　1式比2式，得到

　　sin(α+β)/sin(α-β)=[sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)]/ [sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)]

　　=[tαn(α)+tαn(β)] / [tαn(α)-tαn(β)]

　　我们来看两道例题，增加印象。

　　1.已知cos(α)=1/7,cos(α-β)=13/14,且0<β<α<π/2,求β

　　本题中，α-β∈(0,π/2)

　　sin(α)=4√3/7 sin(α-β)=3√3/14

　　cos(β)=cos[α-(α-β)]=cos(α)cos(α-β)+sin(α)sin(α-β)

　　=1/2

　　β=π/3

　　2.已知3sin2(α)+2sin2(β)=1,3sin(2α)-2sin(2β)=0,且α,β都是锐角。求α+2β

　　由3sin2(α)+2sin2(β)=1得到：

　　1-2sin2(β)=cos(2β)=3sin2(α)

　　由3sin(2α)-2sin(2β)=0得到：

　　sin(2β)=3sin(2α)/2

　　cos(α+2β)=cos(α)cos(2β)-sin(α)sin(2β)

　　=cos(α)3sin2(α)-sin(α)3sin(2α)/2

　　=3sin2(α)cos(α)-3cos(α)sin2(α)

　　=0

　　加之0<α+2β<270o

　　α+2β=90o

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