八年级数学期中综合测评卷答案
八年级数学期中综合测评卷答案
距离八年级数学期中考试越来越近了，半学期即将结束，小编整理了关于八年级数学期中综合测评卷，希望对大家有帮助!
八年级数学期中综合测评卷试题
一、选择题
1.下面的图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.“小明数学期中考试得满分”这是一个( )
A.必然事件 B.不可能事件
C.随机事件 D.以上说法都不对
3.下列各式 、 、 、 +1、 中分式有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
4.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )
A.对角相等 B.对边相等
C.对角线相等 D.对角线互相平分
5.如果把分式 中的m和n都扩大3倍，那么分式的值( )
A.不变 B.扩大3倍 C.缩小3倍 D.扩大9倍
6.有四条线段，长度分别是2cm，3cm，4cm，5cm，从中任取三条，能构成三角形的概率是( )
A. B. C. D.1
7.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=82°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于( )
A.67° B.57° C.60° D.87°
8.为了早日实现“绿色太仓，花园之城”的目标，太仓对4000米长的城北河进行了绿化改造.为了尽快完成工期，施工队每天比原计划多绿化10米，结果提前2天完成.若原计划每天绿化x米，则所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
9.如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为( )
A. B.3 C.4 D.
10.如图，菱形OABC的顶点O在坐标系原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为( )
A.(﹣ ， ) B.( ，﹣ ) C.(2，﹣2) D.( ，﹣ )
二、填空题
11.当x= 时，分式 的值为0.
12.小燕抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为 .
13.在▱ABCD中，若∠A=3∠B，则∠C= °.
14.某校根据去年初三学生参加中考的数学成绩的等级，绘制成如图的扇形统计图，则图中表示A等级的扇形的圆心角的大小为 .
15.如果分式方程 无解，则a= .
16.如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，E为AB的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长是 .
17.关于x的方程：x+ =c+ 的解是x1=c，x2= ，x﹣ =c﹣ 解是x1=c，x2=﹣ ，则x+ =c+ 的解是 .
18.如图，在平面直角坐标系中，A(1，4)，B(3，2)，点C是直线y=﹣4x+20上一动点，若OC恰好平分四边形OACB的面积，则C点坐标为 .
三、解答题：
19.计算
(1)a﹣1﹣
(2)先化简，再求值： ，其中x=2 ﹣1.
20.解方程
(1) =
(2) +3= .
21.若关于x的分式方程 的解是正数，求a的取值范围.
22.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A(﹣4，2)、B(0，4)、C(0，2)，
(1)画出△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C;平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为(0，﹣4)，画出平移后对应的△A2B2C2;
(2)△A1B1C和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 .
23.某儿童娱乐场有一种游戏，规则是：在一个装有6个红球和若干个白球(2016春•无锡期中)我区某校为了解八年级学生体育测试情况，以八年级(1)班学生的体育测试成绩为样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，结合图中所给信息可知：
(1)本次调查的样本容量是 ，样本中D等级的学生人数占全班学生人数的百分比是 ;
(2)把条形统计图补充完整;
(3)若该校八年级有300名学生，请根据此样本，估计体育测试中达到A级和B级的学生人数约为 人.
25.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CE的延长线于点F.证明：FD=AB.
26.华昌中学开学初在金利源商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元.
(1)求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元?
(2)华昌中学响应习“足球进校园”的号召，决定两次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢金利源商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3260元，那么华昌中学此次最多可购买多少个B品牌足球?
27.阅读下列材料：
我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则称这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形.如正方形就是和谐四边形.
结合阅读材料，完成下列问题：
(1)下列哪个四边形一定是和谐四边形
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形
(2)如图，等腰Rt△ABD中，∠BAD=90°.若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB=BC，请直接写出∠ABC的度数.
28.如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接
DG.
(1)求证：∠EDG=45°.
(2)如图2，E为BC的中点，连接BF.①求证：BF∥DE;②若正方形边长为6，求线段AG的长.
(3)当DE=DG时，求BE：CE.
八年级数学期中综合测评卷参考答案
一、选择题
1.下面的图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【考点】中心对称图形.
【分析】根据中心对称图形的概念求解.
【解答】解：A、不是中心对称图形.故错误;
B、不是中心对称图形.故错误;
C、不是中心对称图形.故错误;
D、是中心对称图形.故正确.
故选D.
【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.
2.“小明数学期中考试得满分”这是一个( )
A.必然事件 B.不可能事件
C.随机事件 D.以上说法都不对
【考点】随机事件.
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可.
【解答】解：“小明数学期中考试得满分”这是一个随机事件，
故选：C.
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.
3.下列各式 、 、 、 +1、 中分式有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【考点】分式的定义.
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.
【解答】解： 、 、 的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式.
、 +1分母中含有字母，因此是分式.
故选：A.
【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以 不是分式，是整式.
4.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )
A.对角相等 B.对边相等
C.对角线相等 D.对角线互相平分
【考点】矩形的性质;平行四边形的性质.
【专题】证明题.
【分析】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等.
【解答】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等.
故选：C.
【点评】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质.如，矩形的对角线相等.
5.如果把分式 中的m和n都扩大3倍，那么分式的值( )
A.不变 B.扩大3倍 C.缩小3倍 D.扩大9倍
【考点】分式的基本性质.
【分析】根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，结果不变，可得答案.
【解答】如果把分式 中的m和n都扩大3倍，那么分式的值不变，
故选：A.
【点评】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，结果不变.
6.有四条线段，长度分别是2cm，3cm，4cm，5cm，从中任取三条，能构成三角形的概率是( )
A. B. C. D.1
【考点】列表法与树状图法;三角形三边关系.
【分析】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率.
【解答】解：从四条线段中任意选取三条，所有的可能有：2，3，4;2，3，5;2，4，5;3，4，5共4种，
其中构成三角形的有2，3，4;2，4，5;3，4，5共3种，
则P(构成三角形)= .
故选C.
【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
7.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=82°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于( )
A.67° B.57° C.60° D.87°
【考点】菱形的性质;线段垂直平分线的性质.
【分析】根据菱形的性质求出∠ADC=98°，再根据垂直平分线的性质得出AF=DF，从而计算出∠CDF的值.
【解答】解：连接BD，BF，
∵∠BAD=82°，
∴∠ADC=98°，
又∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD，
∴AF=BF，BF=DF，
∴AF=DF，
∴∠FAD=∠FDA=41°，
∴∠CDF=98°﹣41°=57°.
故选：B.
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先先连接BD，BF，这是解答本题的突破口.
8.为了早日实现“绿色太仓，花园之城”的目标，太仓对4000米长的城北河进行了绿化改造.为了尽快完成工期，施工队每天比原计划多绿化10米，结果提前2天完成.若原计划每天绿化x米，则所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
【考点】由实际问题抽象出分式方程.
【分析】关键描述语是：“提前2天完成绿化改造任务”.等量关系为：原计划的工作时间﹣实际的工作时间=2.
【解答】解：若设原计划每天绿化(x)m，实际每天绿化(x+10)m，
原计划的工作时间为： ，实际的工作时间为：
方程应该为： ﹣ =2.
故选：A.
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系.本题主要用到的关系为：工作时间=工作总量÷工作效率.
9.如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为( )
A. B.3 C.4 D.
【考点】轴对称-最短路线问题;正方形的性质.
【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点.此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为16，可求出AB的长，从而得出结果.
【解答】解：设BE与AC交于点P'，连接BD.
∵点B与D关于AC对称，
∴P'D=P'B，
∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小.
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB=4，
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=4.
故选C.
【点评】本题考查的是正方形的性质和轴对称﹣最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键.
10.如图，菱形OABC的顶点O在坐标系原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为( )
A.(﹣ ， ) B.( ，﹣ ) C.(2，﹣2) D.( ，﹣ )
【考点】菱形的性质;坐标与图形变化-旋转.
【分析】首先连接OB，OB′，过点B′作B′E⊥x轴于E，由旋转的性质，易得∠BOB′=105°，由菱形的性质，易证得△AOB是等边三角形，即可得OB′=OB=OA=2，∠AOB=60°，继而可求得∠AOB′=45°，由等腰直角三角形的性质，即可求得答案.
【解答】解：连接OB，OB′，过点B′作B′E⊥x轴于E，
根据题意得：∠BOB′=105°，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB，∠AOB= ∠AOC= ∠ABC= ×120°=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴OB=OA=2，
∴∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=105°﹣60°=45°，OB′=OB=2，
∴OE=B′E=OB′•sin45°=2× = ，
∴点B′的坐标为：( ，﹣ ).
故选B.
【点评】此题考查了旋转的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质.此题难度不大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意辅助线的作法
二、填空题
11.当x= ﹣1 时，分式 的值为0.
【考点】分式的值为零的条件.
【分析】根据分式值为零的条件得x+1=0且x﹣2≠0，再解方程即可.
【解答】解：由分式的值为零的条件得x+1=0，且x﹣2≠0，
解得：x=﹣1，
故答案为：﹣1.
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.
12.小燕抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为 .
【考点】概率的意义.
【分析】求出一次抛一枚硬币正面朝上的概率即可.
【解答】解：∵抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或反面的概率是一致的，
∴正面向上的概率为 .
故答案为： .
【点评】本题考查的是概率的意义，注意抛硬币只有两种情况，每次抛出的概率都是一致的，与次数无关.
13.在▱ABCD中，若∠A=3∠B，则∠C= 135 °.
【考点】平行四边形的性质.
【分析】平行四边形中，利用邻角互补可求得∠A的度数，利用对角相等，即可得∠C的值.
【解答】解：如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=3∠B，∴∠A=∠C=135°.
故答案为：135.
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，利用邻角互补的结论求四边形内角度数是阶解题关键.
14.某校根据去年初三学生参加中考的数学成绩的等级，绘制成如图的扇形统计图，则图中表示A等级的扇形的圆心角的大小为 108° .
【考点】扇形统计图.
【专题】计算题.
【分析】根据C等级的人数与所占的百分比计算出参加中考的人数，再求出A等级所占的百分比，然后乘以360°计算即可得解.
【解答】解：参加中考的人数为：60÷20%=300人，
A等级所占的百分比为： ×100%=30%，
所以，表示A等级的扇形的圆心角的大小为360°×30%=108°.
故答案为：108°.
【点评】本题考查扇形统计图及相关计算.在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比.
15.如果分式方程 无解，则a= 4 .
【考点】分式方程的解.
【分析】根据分式方程无解，可得x的值，根据分式方程的增根满足整式方程，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案.
【解答】解：方程两边都乘以(x﹣4)，得
x=2x﹣8+a.
由分式方程 无解，得
x=4，
将x=4代入x=2x﹣8+a，得
4=8﹣8+a，
解得a=4，
故答案为：4.
【点评】本题考查了分式方程的解，利用分式方程的增根满足整式方程得出关于a的方程是解题关键.
16.如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，E为AB的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长是 24 .
【考点】菱形的性质;三角形中位线定理.
【分析】根据菱形的角平分线互相平分可得AO=CO，然后判断出OE是△ABC的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC的长，再根据菱形的周长公式列式进行计算即可得解.
【解答】解：在菱形ABCD中，AO=CO，
∵E为AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴BC=2OE=2×3=6，
∴菱形ABCD的周长=4×6=24.
故答案为：24.
【点评】本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，以及菱形的周长公式，判断出OE是△ABC的中位线是解本题的关键.
17.关于x的方程：x+ =c+ 的解是x1=c，x2= ，x﹣ =c﹣ 解是x1=c，x2=﹣ ，则x+ =c+ 的解是 x1=c，x2= +3 .
【考点】分式方程的解.
【专题】计算题.
【分析】根据题中方程的解归纳总结得到一般性规律，所求方程变形后确定出解即可.
【解答】解：所求方程变形得：x﹣3+ =c﹣3+ ，
根据题中的规律得：x﹣3=c﹣3，x﹣3= ，
解得：x1=c，x2= +3，
故答案为：x1=c，x2= +3
【点评】此题考查了分式方程的解，归纳总结得到题中方程解的规律是解本题的关键.
18.如图，在平面直角坐标系中，A(1，4)，B(3，2)，点C是直线y=﹣4x+20上一动点，若OC恰好平分四边形OACB的面积，则C点坐标为 ( ， ) .
【考点】一次函数综合题.
【分析】OC恰好平分四边形OACB的面积，则OC和AB的交点就是AB的中点，求得AB的中点D，然后利用待定系数法即可求得OD的解析式，然后求OD的解析式与直线y=4x+20的交点即可.
【解答】解：AB的中点D的坐标是：( ， )，即(2，3)，
设直线OD的解析式是y=kx，则2k=3，
解得：k= ，
则直线的解析式是：y= x，
根据题意得： ，
解得： ，
则C的坐标是：( ， ).
故答案是：( ， ).
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及直线交点的求法，理解AC一定经过AB的中点是关键.
三、解答题：
19.计算
(1)a﹣1﹣
(2)先化简，再求值： ，其中x=2 ﹣1.
【考点】分式的化简求值.
【分析】(1)先通分，再把分子相加减即可;
(2)先通分，再把分子相加减，最后把x的值代入进行计算即可.
【解答】解：(1)原式=
=﹣ ;
(2)原式=
=
= ，
当x=2 ﹣1时，原式= = .
【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值.许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想(即转化)、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助.
20.解方程
(1) =
(2) +3= .
【考点】解分式方程.
【专题】计算题.
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到未知数的值，经检验即可得到分式方程的解.
【解答】解：(1)去分母得：2x+1=5x﹣5，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解;
(2)去分母得：1+3y﹣6=y﹣1，
解得：y=2，
经检验y=2是增根，分式无解.
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.
21.若关于x的分式方程 的解是正数，求a的取值范围.
【考点】分式方程的解.
【专题】计算题.
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围.
【解答】解：去分母，得2x+a=2﹣x
解得：x= ，∴ >0
∴2﹣a>0，
∴a<2，且x≠2，
∴a≠﹣4
∴a<2且a≠﹣4.
【点评】由于我们的目的是求a的取值范围，因此也没有必要求得x的值，求得3x=2﹣a即可列出关于a的不等式了，另外，解答本题时，易漏掉a≠﹣4，这是因为忽略了x﹣2≠0这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视.
22.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A(﹣4，2)、B(0，4)、C(0，2)，
(1)画出△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C;平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为(0，﹣4)，画出平移后对应的△A2B2C2;
(2)△A1B1C和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 (2，﹣1) .
【考点】作图-旋转变换;作图-平移变换.
【专题】作图题.
【分析】(1)根据网格结构找出点A、B关于点C成中心对称的点A1、B1的位置，再与点A顺次连接即可;根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可;
(2)根据中心对称的性质，连接两组对应点的交点即为对称中心.
【解答】解：(1)△A1B1C如图所示，
△A2B2C2如图所示;
(2)如图，对称中心为(2，﹣1).
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键.
23.某儿童娱乐场有一种游戏，规则是：在一个装有6个红球和若干个白球(2016春•无锡期中)我区某校为了解八年级学生体育测试情况，以八年级(1)班学生的体育测试成绩为样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，结合图中所给信息可知：
(1)本次调查的样本容量是 50 ，样本中D等级的学生人数占全班学生人数的百分比是 10% ;
(2)把条形统计图补充完整;
(3)若该校八年级有300名学生，请根据此样本，估计体育测试中达到A级和B级的学生人数约为 198 人.
【考点】条形统计图;总体、个体、样本、样本容量;用样本估计总体;扇形统计图.
【分析】(1)利用A类有10人，占总体的20%，求出样本容量，再求出D等级的学生人数的百分比;
(2)先求出D等级的学生人数，再据此可补全条形图即可;
(3)利用总人数乘A、B级所占的百分比即可.
【解答】解：(1)读图可得：A类有10人，占总体的20%，所以样本容量为10÷20%=50人，
D等级的学生人数为50﹣10﹣23﹣12=5人.
样本中D等级的学生人数占全班学生人数的百分比是 ×100%=10%.
故答案为：50，10%.
(2)D级的学生人数为50﹣10﹣23﹣12=5人，
据此可补全条形图;
(3)A级和B级的学生人数为300×(46%+20%)=198(人).
故答案为：198.
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
25.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CE的延长线于点F.证明：FD=AB.
【考点】平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质.
【专题】证明题.
【分析】由在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，易证得△ABE≌△DFE(AAS)，继而证得FD=AB.
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABE=∠F，
∵E是AD边上的中点，
∴AE=DE，
在△ABE和△DFE中，
，
∴△ABE≌△DFE(AAS)，
∴FD=AB.
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质.注意平行四边形的对边平行.
26.华昌中学开学初在金利源商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元.
(1)求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元?
(2)华昌中学响应习“足球进校园”的号召，决定两次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢金利源商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3260元，那么华昌中学此次最多可购买多少个B品牌足球?
【考点】分式方程的应用;一元一次不等式的应用.
【分析】(1)设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需x+30元，根据购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍列出方程解答即可;
(2)设此次可购买a个B品牌足球，则购进A牌足球(50﹣a)个，根据购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3260元，列出不等式解决问题.
【解答】解：(1)设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需x+30元，由题意得
= ×2
解得：x=50
经检验x=50是原方程的解，
x+30=80
答：一个A品牌的足球需50元，则一个B品牌的足球需80元.
(2)设此次可购买a个B品牌足球，则购进A牌足球(50﹣a)个，由题意得
50×(1+8%)(50﹣a)+80×0.9a≤3260
解得a≤31
∵a是整数，
∴a最大等于31，
答：华昌中学此次最多可购买31个B品牌足球.
【点评】此题考查二元一次方程组与分式方程的应用，找出题目蕴含的等量关系与不等关系是解决问题的关键.
27.阅读下列材料：
我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则称这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形.如正方形就是和谐四边形.
结合阅读材料，完成下列问题：
(1)下列哪个四边形一定是和谐四边形 C
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形
(2)如图，等腰Rt△ABD中，∠BAD=90°.若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB=BC，请直接写出∠ABC的度数.
【考点】等腰梯形的性质;等腰直角三角形;平行四边形的性质;菱形的性质;矩形的性质.
【专题】新定义.
【分析】(1)有和谐四边形的定义即可得到菱形是和谐四边形;
(2)首先根据题意画出图形，然后由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图1，图2，图3三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠ABC的度数.
【解答】解：(1)∵菱形的四条边相等，
∴连接对角线能得到两个等腰三角形，
∴菱形是和谐四边形;
(2)解：∵AC是四边形ABCD的和谐线，
∴△ACD是等腰三角形，
在等腰Rt△ABD中，
∵AB=AD，
∴AB=AD=BC，
如图1，当AD=AC时，
∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC
∴△ABC是正三角形，
∴∠ABC=60°.
如图2，当AD=CD时，
∴AB=AD=BC=CD.
∵∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°;
如图3，当AC=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，
∵AC=CD.CE⊥AD，
∴AE= AD，∠ACE=∠DCE.
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，
∴四边形ABFE是矩形.
∴BF=AE.
∵AB=AD=BC，
∴BF= BC，
∴∠BCF=30°.
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC.
∵AB∥CE，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠ACB=∠BAC= ∠BCF=15°，
∴∠ABC=150°，
综上：∠ABC的度数可能是：60°90°150°.
【点评】此题考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质、矩形的性质、正方形的性质，菱形的性质，此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用.
28.如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接
DG.
(1)求证：∠EDG=45°.
(2)如图2，E为BC的中点，连接BF.①求证：BF∥DE;②若正方形边长为6，求线段AG的长.
(3)当DE=DG时，求BE：CE.
【考点】四边形综合题.
【分析】(1)根据正方形的性质可得DC=DA.∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，根据翻折前后两个图形能够完全重合可得∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后利用“HL”证明Rt△DGA和Rt△DGF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠3=∠4，然后求出∠2+∠3=45°，从而得解;
(2)①根据折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠5=∠DEC，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可;
②设AG=x，表示出GF、BG，根据点E是BC的中点求出BE、EF，从而得到GE的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可;
(3)根据等腰三角形三线合一的性质可得F是EG的中点，再利用“HL”证明Rt△ADG和Rt△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CE，再求出BG=BE，然后根据等腰直角三角形的性质可得BF⊥GE，从而得到BE：EF的值，即为BE：EC.
【解答】(1)证明：如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=DA.∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，
∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，
∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，
∴∠DFG=∠A=90°，DA=DF，
在Rt△DGA和Rt△DGF中， ，
∴Rt△DGA≌Rt△DGF(HL)，
∴∠3=∠4，
∴∠EDG=∠3+∠2= ∠ADF+ ∠FDC，
= (∠ADF+∠FDC)，
= ×90°，
=45°;
(2)①证明：如图2，
∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，E为BC的中点，
∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，
∴∠5=∠6，
∵∠FEC=∠5+∠6
∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6，
∴2∠5=2∠DEC，
即∠5=∠DEC，
∴BF∥DE;
②解：设AG=x，则GF=x，BG=6﹣x，
∵正方形边长为6，E为BC的中点，
∴CE=EF=BE= ×6=3，
∴GE=EF+GF=3+x，
在Rt△GBE中，根据勾股定理得：(6﹣x)2+32=(3+x)2，
解得x=2，
即，线段AG的长为2;
(3)∵DE=DG，∠DFE=∠C=90°，
∴点F是EG的中点，
在Rt△ADG和Rt△CDE中，
，
∴Rt△ADG≌Rt△CDE(HL)，
∴AG=CE，
∴AB﹣AG=BC﹣CE，
即BG=BE，
∴△BEG是等腰直角三角形，
∴BF⊥GE，
∴BE：EF= ，
即BE：EC= ，
故答案为： .
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折变换的性质，熟记各性质是解题的关键.
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