北京八年级数学下册期末考试
北京八年级数学下册期末考试
学期时间马上就要完结，八年级数学期末考试就要来临，小编整理了关于北京八年级数学下册期末考试，希望对大家有帮助!
北京八年级数学下册期末试题
一、选择题(共12小题，每小题2分，满分24分)
1.下列式子是一元一次不等式的是( )
A. x+y≤0 B. x2≥0 C. >3+x D. <0
2.下列代数式中，是分式的是( )
A. B. C. D.
3.下列分解因式正确的是( )
A. ﹣a+a3=﹣a(1+a2) B. 2a﹣4b+2=2(a﹣2b)
C. a2﹣4=(a﹣2)2 D. a2﹣2a+1=(a﹣1)2
4.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是( )
A. 一组对角相等
B. 对角线互相平分
C. 一组对边平行，另一组对边相等
D. 对角线互相垂直
5.如果把分式中的x，y都扩大3倍，分式的值( )
A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 缩小6倍
6.已知x：y：z=3：4：6，则的值为( )
A. B. 1 C. D.
7.若有一个n边形，其内角和大于它的外角和，则n的值至少为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8.若不等式组无解，则m的取值范围是( )
A. m>3 B. m<3 C. m≥3 D. m≤3
9.下列说法中，正确的有( )个.
(1)若a>b，则ac2>bc2
(2)若ac2>bc2，则a>b
(3)对于分式，当x=2时，分式的值为0
(4)若关于x的分式方程=有增根，则m=1.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
10.若a﹣2=b+c，则a(a﹣b﹣c)+b(b+c﹣a)﹣c(a﹣b﹣c)的值为( )
A. 4 B. 2 C. 1 D. 8
11.下列说法中不正确的是( )
A. 平行四边形是中心对称图形
B. 斜边及一锐角分别相等的两直角三角形全等
C. 两个锐角分别相等的两直角三角形全等
D. 一直角边及斜边分别相等的两直角三角形全等
12.如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长是( )
A. 24 B. 15 C. 21 D. 30
二、填空题(共5小题，每小题3分，满分15分)
13.“四边形是多边形”的逆命题是 .
14.如图，在▱ABCD中，已知AD=10cm，AB=6cm，AE平分∠BAD交BC边于E，则EC的长为 cm.
15.计算：+= .
16.如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=3，则EF的长为 .
17.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，则MN的长为 cm.
三、解答题(共7小题，满分61分)
18.(13分)(2015春•雅安期末)(1)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来.
(2)解分式方程：+=1.
19.先化简，再求值：(x+1﹣)÷，其中x=2.
20.八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度.
21.(10分)(2015春•雅安期末)如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的8×8网格和△ABC在平面直角坐标系中.
(1)将△ABC向下平移2个单位，再向左平移2个单位，得到△A1B1C1.请在网格中画出△A1B1C1.
(2)如果将△A1B1C1看成是由△ABC经过一次平移得到的，请指出这一平移的方向和距离.
(3)将△A1B1C1绕着点(﹣1，﹣1)逆时针方向旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并直接写出点A2、B2、C2的坐标.
22.我们知道，多项式a2+6a+9可以写成(a+3)2的形式，这就是将多项式a2+6a+9因式分解，当一个多项式(如a2+6a+8)不能写成两数和(成差)的平方形式时，我们可以尝试用下面的办法来分解因式.
a2+6a+8=a2+6a+9﹣1
=(a+3)2﹣1
=[(a+3)+1][(a+3)﹣1]
=(a+4)(a+2)
请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：
(1)x2﹣6x﹣27
(2)x2﹣2xy﹣3y2.
23.某工厂要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别为600元和1000元.
(1)设招聘甲种工种工人x人，工厂付给甲、乙两种工种的工人工资共y元，写出y(元)与x(人)的函数关系式;
(2)现要求招聘的乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少?
24.(10分)(2014•凉山州)如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE.已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.
(1)试说明AC=EF;
(2)求证：四边形ADFE是平行四边形.
北京八年级数学下册期末考试参考答案
一、选择题(共12小题，每小题2分，满分24分)
1.下列式子是一元一次不等式的是( )
A. x+y≤0 B. x2≥0 C. >3+x D. <0
考点： 一元一次不等式的定义. 版权所有
分析： 根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就可以.
解答： 解：A、含有2个未知数，不是一元一次不等式，选项错误;
B、最高次数是2次，不是一元一次不等式，选项错误;
C、正确;
D、不是整式，则不是一元一次不等式，选项错误.
故选C.
点评： 本题考查不等式的定义，一元一次不等式中必须只含有一个未知数，位置是的最高次数是一次，并且不等式左右两边必须是整式.
2.下列代数式中，是分式的是( )
A. B. C. D.
考点： 分式的定义. 版权所有
分析： 判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.
解答： 解：A、是分数，是单项式，故选项错误;
B、分母是常数，是单项式，故选项错误;
C、分母是常数，是单项式，故选项错误;
D、正确.
故选D.
点评： 本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式.
3.下列分解因式正确的是( )
A. ﹣a+a3=﹣a(1+a2) B. 2a﹣4b+2=2(a﹣2b)
C. a2﹣4=(a﹣2)2 D. a2﹣2a+1=(a﹣1)2
考点： 提公因式法与公式法的综合运用. 版权所有
专题： 因式分解.
分析： 根据提公因式法，平方差公式，完全平方公式求解即可求得答案.
解答： 解：A、﹣a+a3=﹣a(1﹣a2)=﹣a(1+a)(1﹣a)，故A选项错误;
B、2a﹣4b+2=2(a﹣2b+1)，故B选项错误;
C、a2﹣4=(a﹣2)(a+2)，故C选项错误;
D、a2﹣2a+1=(a﹣1)2，故D选项正确.
故选：D.
点评： 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，理解因式分解与整式的乘法是互逆运算是解题的关键.
4.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是( )
A. 一组对角相等
B. 对角线互相平分
C. 一组对边平行，另一组对边相等
D. 对角线互相垂直
考点： 平行四边形的判定. 版权所有
分析： 根据平行四边形的判定定理(①两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③对角线互相平分的四边形是平行四边形，④有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形)进行判断即可.
解答： 解：如图：
A、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误;
B、∵OA=OC、OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确;
C、“一组对边平行，另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故本选项错误;
D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，例如：筝形，故本选项错误.
故选：B.
点评： 本题考查了对平行四边形的判定定理得应用，题目具有一定的代表性，但是一道比较容易出错的题目.
5.如果把分式中的x，y都扩大3倍，分式的值( )
A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 缩小6倍
考点： 分式的基本性质. 版权所有
分析： 根据分式的分子分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变.
解答： 解：把分式中的x，y都扩大3倍，得=.
故选：B.
点评： 本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变.
6.已知x：y：z=3：4：6，则的值为( )
A. B. 1 C. D.
考点： 比例的性质. 版权所有
分析： 根据比例的性质，可用x表示y，用x表示z，根据分式的性质，可得答案.
解答： 解：由x：y：z=3：4：6，得
y=，z=2x.
==.
故选：A.
点评： 本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出y=，z=2x是解题关键.
7.若有一个n边形，其内角和大于它的外角和，则n的值至少为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
考点： 多边形内角与外角. 版权所有
分析： 多边形的外角和等于360°，内角和为(n﹣2)•180°，从而得出不等式，得出结论.
解答： 解：∵n边形的内角和=(n﹣2)•180°，
又∵多边形的外角和等于360°，
∴(n﹣2)•180°>360°，
n>4，
∵n为正整数，
∴n的值至少为5.
故选C.
点评： 本题考查了多边形的内角和与外角和，熟记多边形的外角和等于360°，内角和为(n﹣2)•180°是解答此题的关键.
8.若不等式组无解，则m的取值范围是( )
A. m>3 B. m<3 C. m≥3 D. m≤3
考点： 解一元一次不等式组. 版权所有
分析： 解出不等式组的解集(含m的式子)，与不等式组无解比较，求出m的取值范围.
解答： 解：∵不等式组无解.
∴m≤3.故选D.
点评： 本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题.可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数.
9.下列说法中，正确的有( )个.
(1)若a>b，则ac2>bc2
(2)若ac2>bc2，则a>b
(3)对于分式，当x=2时，分式的值为0
(4)若关于x的分式方程=有增根，则m=1.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
考点： 不等式的性质;分式的值为零的条件;分式方程的增根. 版权所有
分析： (1)当c=0时，ac2=bc2=0，据此判断即可.
(2)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，据此判断即可.
(3)根据分式值为零的条件判断即可.
(4)根据方程=有增根，可得x=m+1=2，据此求出m的值即可.
解答： 解：∵当c=0时，ac2=bc2=0，
∴选项(1)不正确;
∵ac2>bc2，
∴c2>0，
∴a>b，
∴选项(2)正确;
由
解得x=﹣2，
∴当x=﹣2时，分式的值为0，
∴选项(3)不正确;
∵方程=有增根，
∴x=m+1=2，
解得m=1，
∴选项(4)正确.
综上，可得
正确的结论有2个：(2)(4).
故选：A.
点评： (1)此题主要考查了不等式的基本性质：①不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变;②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变;③不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变.
(2)此题还考查了分式值为零的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少.
(3)此题还考查了分式方程的增根，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确增根的产生的原因和检验增根的方法.
10.若a﹣2=b+c，则a(a﹣b﹣c)+b(b+c﹣a)﹣c(a﹣b﹣c)的值为( )
A. 4 B. 2 C. 1 D. 8
考点： 整式的混合运算—化简求值. 版权所有
专题： 计算题.
分析： 原式利用单项式乘以多项式法则计算，再利用完全平方公式化简后，将已知等式变形后代入计算即可求出值.
解答： 解：∵a﹣2=b+c，
∴b+c﹣a=2，
则原式=a2﹣ab﹣ac+b2+bc﹣ab﹣ac+bc+c2=a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac+2bc=(b+c﹣a)2=4.
故选A.
点评： 此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
11.下列说法中不正确的是( )
A. 平行四边形是中心对称图形
B. 斜边及一锐角分别相等的两直角三角形全等
C. 两个锐角分别相等的两直角三角形全等
D. 一直角边及斜边分别相等的两直角三角形全等
考点： 直角三角形全等的判定;中心对称图形. 版权所有
分析： 根据中心对称图形的定义可得A说法正确;根据AAS定理可得B正确;根据全等三角形的判定定理可得要证明两个三角形全等，必须有边对应相等可得C正确;根据HL定理可得D正确.
解答： 解：A、平行四边形是中心对称图形，说法正确;
B、斜边及一锐角分别相等的两直角三角形全等，说法正确;
C、两个锐角分别相等的两直角三角形全等，说法错误;
D、一直角边及斜边分别相等的两直角三角形全等，说法正确;
故选：C.
点评： 此题主要考查了直角三角形全等的判定方法，关键是掌握SSS、HL、SAS、ASA、AAS，要证明两个三角形全等，必须有边对应相等这一条件.
12.如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长是( )
A. 24 B. 15 C. 21 D. 30
考点： 平行四边形的性质;三角形中位线定理. 版权所有
分析： 根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB=OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE=BC，所以易求△DOE的周长.
解答： 解：∵▱ABCD的周长为36，
∴2(BC+CD)=36，则BC+CD=18.
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，
∴OD=OB=BD=6.
又∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE=CD，
∴OE=BC，
∴△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+(BC+CD)=6+9=15，
即△DOE的周长为15.
故选B.
点评： 本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质.解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质.
二、填空题(共5小题，每小题3分，满分15分)
13.“四边形是多边形”的逆命题是 多边形是四边形 .
考点： 命题与定理. 版权所有
分析： 逆命题的概念就是把原来的题设和结论互换，因此可得到命题“四边形是多边形”的逆命题.
解答： 解：命题“四边形是多边形”的逆命题是“多边形是四边形”.
故答案为：多边形是四边形.
点评： 本题考查逆命题的概念，逆命题就是把原来命题的题设和结论互换，以及能正确找出题设和结论.
14.如图，在▱ABCD中，已知AD=10cm，AB=6cm，AE平分∠BAD交BC边于E，则EC的长为 4 cm.
考点： 平行四边形的性质. 版权所有
分析： 根据平行四边形的性质得出∠BAE=∠EAD，∠DAE=∠AEB，即可得出∠BAE=∠AEB，进而得出答案.
解答： 解：∵在▱ABCD中，AD=10cm，AB=6cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，
∴∠BAE=∠EAD，∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=6cm，
∴EC=10﹣6=4cm，
故答案为：4.
点评： 此题主要考查了平行四边形的性质，根据已知得出∠BAE=∠AEB是解决问题的关键.
15.计算：+= 3 .
考点： 分式的加减法. 版权所有
专题： 计算题.
分析： 原式利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果.
解答： 解：原式===3.
故答案为：3.
点评： 此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
16.如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=3，则EF的长为 6 .
考点： 角平分线的性质;含30度角的直角三角形. 版权所有
分析： 作EG⊥OA于G，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等求出EG=EC=3，根据平行线的性质和直角三角形的性质求出EF的长.
解答： 解：作EG⊥OA于G，
∵∠AOE=∠BOE，EC⊥OB，EG⊥OA，
∴EG=EC=3，
∵EF∥OB，
∴∠OEF=∠BOE=15°，
∴∠EFG=30°，
∴EF=2EC=6，
故答案为：6.
点评： 本题考查的是角平分线的性质和直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等和直角三角形的性质是解题的关键.
17.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，则MN的长为 2 cm.
考点： 线段垂直平分线的性质;含30度角的直角三角形. 版权所有
分析： 连接AM、AM，根据线段的垂直平分线的性质证明MB=MA，得到∠NMA=60°，同理NA=NC，∠NMA=60°，得到MN=BC，得到答案.
解答： 解：连接AM、AM，
∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵EM是AB的垂直平分线，
∴MB=MA，
∴∠MAB=∠B=30°，
∴∠NMA=60°，同理NA=NC，∠NMA=60°，
∴△MAN是等边三角形，
∴BM=MN=NC=BC=2cm，
故答案为：2.
点评： 此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识.线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.
三、解答题(共7小题，满分61分)
18.(13分)(2015春•雅安期末)(1)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来.
(2)解分式方程：+=1.
考点： 解一元一次不等式组;解分式方程;在数轴上表示不等式的解集. 版权所有
分析： (1)首先分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集;
(2)首先两边同时乘以x2﹣9去分母，然后再整理成一元一次方程，再解即可，注意不要忘记检验.
解答： 解：(1)，
由①得：x≤6，
由②得：x≥﹣1，
画图：
所以原不等式组的解集为﹣1≤x≤6;
(2)两边同乘以x2﹣9，得：
3+x(x+3)=x2﹣9，
化简，得3x=﹣12，
解得：x=﹣4，
经检验，x=﹣4是原方程的根.
点评： 此题主要考查了解一元一次不等式组，以及分式方程，关键是掌握解集的规律：同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到.
19.先化简，再求值：(x+1﹣)÷，其中x=2.
考点： 分式的化简求值. 版权所有
专题： 计算题.
分析： 将括号内的部分通分，再将除法转化为乘法，因式分解后约分即可化简.
解答： 解：原式=[﹣]•
=•
=•
=﹣，
当x=2时，原式=﹣=3.
点评： 本题考查了分式的化简求值，熟悉因式分解和分式除法法则是解题的关键.
20.八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度.
考点： 分式方程的应用. 版权所有
专题： 行程问题.
分析： 求的速度，路程明显，一定是根据时间来列等量关系.关键描述语为：“过了20分后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达”;等量关系为：骑自行车同学所用时间﹣乘车同学所用时间=.
解答： 解：设骑车同学的速度为x千米/时.
则：.
解得：x=15.
检验：当x=15时，6x≠0.
∴x=15是原方程的解.
答：骑车同学的速度为15千米/时.
点评： 应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的.本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键.
21.(10分)(2015春•雅安期末)如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的8×8网格和△ABC在平面直角坐标系中.
(1)将△ABC向下平移2个单位，再向左平移2个单位，得到△A1B1C1.请在网格中画出△A1B1C1.
(2)如果将△A1B1C1看成是由△ABC经过一次平移得到的，请指出这一平移的方向和距离.
(3)将△A1B1C1绕着点(﹣1，﹣1)逆时针方向旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并直接写出点A2、B2、C2的坐标.
考点： 作图-旋转变换;作图-平移变换. 版权所有
专题： 几何变换.
分析： (1)利用点平移的规律先写出A1、B1、C1的坐标，再画三角形A1B1C1.
(2)利用图形可得由△ABC沿CA方向平移2个单位可得到△A1B1C1;
(3)利用旋转的定义画图，再写出点A2、B2、C2的坐标.
解答： 解：(1)A1 (﹣1，﹣2)、B1(2，﹣2)、C1(1，0)，如图;
(2)由△ABC沿CA方向平移2个单位可得到△A1B1C1;
(3)如图，A2(0，﹣1)，B2(0，2 )，C2 (﹣2，1).
点评： 本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形.也考查了平移变换.
22.我们知道，多项式a2+6a+9可以写成(a+3)2的形式，这就是将多项式a2+6a+9因式分解，当一个多项式(如a2+6a+8)不能写成两数和(成差)的平方形式时，我们可以尝试用下面的办法来分解因式.
a2+6a+8=a2+6a+9﹣1
=(a+3)2﹣1
=[(a+3)+1][(a+3)﹣1]
=(a+4)(a+2)
请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：
(1)x2﹣6x﹣27
(2)x2﹣2xy﹣3y2.
考点： 因式分解-十字相乘法等. 版权所有
专题： 阅读型.
分析： (1)原式变形后，利用阅读材料中的方法分解即可;
(2)原式变形后，利用阅读材料中的方法分解即可.
解答： 解：(1)原式=x2﹣6x+9﹣36=(x﹣3)2﹣36=(x﹣3+6)(x﹣3﹣6)=(x+3)(x﹣9);
(2)原式=x2﹣2xy+y2﹣4y2=(x﹣y)2﹣4y2=(x﹣y+2y)(x﹣y﹣2y)=(x+y)(x﹣3y).
点评： 此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键.
23.某工厂要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别为600元和1000元.
(1)设招聘甲种工种工人x人，工厂付给甲、乙两种工种的工人工资共y元，写出y(元)与x(人)的函数关系式;
(2)现要求招聘的乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少?
考点： 一次函数的应用. 版权所有
专题： 压轴题.
分析： (1)根据题意甲种工种工人x人，则乙种工人为(150﹣x)人，然后根据已知条件即可确定y与x成一次函数关系;
(2)根据题意可列出一不等式150﹣x≥2x，解得x≤50，再利用一次函数的性质可解.
解答： 解：
(1)依题意得
y=600x+1000(150﹣x)
=﹣400x+150000;
(2)依题意得，150﹣x≥2x
∴x≤50
因为﹣400<0，由一次函数的性质知，当x=50时，y有最小值
所以150﹣50=100
答：甲工种招聘50人，乙工种招聘100人时可使得每月所付的工资最少.
点评： 此题首先正确理解题意，然后根据已知条件列出函数关系式.在利用一次函数求最值时，注意应用一次函数的性质.
24.(10分)(2014•凉山州)如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE.已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.
(1)试说明AC=EF;
(2)求证：四边形ADFE是平行四边形.
考点： 平行四边形的判定;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质. 版权所有
专题： 证明题.
分析： (1)首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因为△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF;
(2)根据(1)知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形.
解答： 证明：(1)∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF
∴AF=BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
，
∴△AFE≌△BCA(HL)，
∴AC=EF;
(2)∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°，AC=AD，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC=EF，AC=AD，
∴EF=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形.
点评： 此题是首先利用等边三角形的性质证明全等三角形，然后利用全等三角形的性质和等边三角形的性质证明平行四边形.
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