行列式的定义是什么

行列式的定义是什么

　　行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。行列式的定义是什么?以下是学习啦小编为大家整理的关于行列式的定义，欢迎大家前来阅读!

　　行列式的定义

　　一个矩阵A的行列式有一个乍看之下很奇怪的定义：

　　其中 s g n(σ)是排列σ的符号差。

　　对于比较小的矩阵，比如说二阶和三阶的矩阵，行列式表达如下，有些像是主对角线(左上至右下)元素的乘积减去副对角线(右上至左下)元素的乘积(见图中红线和蓝线)。

　　2阶： 3阶：。 但对于阶数较大的矩阵，行列式有 n!项，并不是这样的形式。

　　二维向量组的行列式

　　行列式是向量形成的平行四边形的面积

　　设 P是一个二维的有向欧几里得空间，即一个所谓的欧几里得平面。两个向量 X和 X’的行列式是：

　　经计算可知，行列式表示的是向量 X和 X ’形成的平行四边形的 有向面积。并有如下性质：

　　行列式为零当且仅当两个向量共线(线性相关)，这时平行四边形退化成一条直线。 如果以逆时针方向为正向的话，有向面积的意义是：平行四边形面积为正当且仅当向量 X和 X’逆时针排列(如图)。 行列式是一个双线性映射。

　　三维向量组的行列式

　　设 E是一个三维的有向欧几里得空间。三个三维向量的行列式是：

　　这时的行列式表示 X、 X’和 X’’三个向量形成的平行六面体的 有向体积，也叫做这三个向量的混合积。同样的，可以观察到如下性质：

　　行列式为零当且仅当三个向量共线或者共面(三者线性相关)，这时平行六面体退化为平面图形，体积为零。 这时行列式是一个 “三线性映射”，也就是说，对第一个向量有 ，对第二、第三个向量也是如此。

　　基底选择

　　在以上的行列式中，我们不加选择地将向量在所谓的正交基下分解，实际上在不同的基底之下，行列式的值并不相同。这并不是说平行六面体的体积不唯一。恰恰相反，基底变换可以看作线性映射对基的作用，而不同基底下的行列式代表了基底变换对“体积”的影响。可以证明，对于所有同定向的标准正交基底，向量组的行列式的值是一样的。也就是说，如果我们选择的基底都是“单位长度”，并且两两正交，那么在这样的基底之下，平行六面体的体积是唯一的。

　　线性变换

　　经线性映射后的正方体

　　设 E是一个一般的 n维的有向欧几里得空间。一个线性变换把一个向量线性地变为另一个向量。比如说，在三维空间中，向量 (x,y,z)被射到向量 (x’,y’,z’)：

　　其中 a、 b、 c等是系数。如右图，正方体(可以看作原来的一组基形成的)经线性变换后可以变成一个普通的平行六面体，或变成一个平行四边形(没有体积)。这两种情况表示了两种不同的线性变换，行列式可以将其很好地分辨出来(为零或不为零)。

　　更详细地说，行列式表示的是线性变换前后平行六面体的体积的变化系数。如果设左边的正方体体积是一，那么中间的平行六面体的(有向)体积就是线性变换的行列式的值，右边的平行四边形体积为零，因为线性变换的行列式为零。这里我们混淆了线性变换的行列式和向量组的行列式，但两者是一样的，因为我们在对一组基作变换。

　　严格的定义

　　由二维及三维的例子，我们可以看到一般的行列式应该具有怎样的性质。为了描述一个 n 维空间中的“平行多面体”的“体积”，行列式首先需要是 线性的，这可以由面积的性质得到。这里的线性是对于每一个向量来说的，因为当一个向量变为原来的 a倍时，“平行多面体”的“体积”也变为原来的 a倍。其次，当一个向量在其它向量组成的“超平面”上时，“平行多面体”的“体积”是零(可以想象三维空间的例子)。也就是说，当向量 线性相关时，行列式为零。于是可以得出行列式的定义：

　　向量组的行列式

　　行列式是 E到 K上的交替多线性形式。

　　具体来说，设 E是一个内积空间，一个从 E到 K上的交替多线性形式是指函数：

　　(多线性) 或者说，当 a i= a j的时候 (交替性) 所有 E到 K上的交替多线性形式的集合记作 An(E)。

　　定理： An(E)的维度是1，也就是说，设是 E的一组基，那么，所有的交替多线性形式都可以写成

　　其中是在基 B下的展开。 定理的证明是对任一个多线性形式，考虑将 D依照多线性性质展开，

　　这时，由交替性，当且仅当 是的一个排列，所以有

　　这里， 。

　　向量组的行列式设是 E的一组基， 基B的行列式就是唯一的(由定理可知)交替多线性形式使得：

　　det B( e1,..., e n) = 1 于是向量组 的行列式就是

　　其中是在基 B下的展开。 这个公式有时被称作莱布尼兹公式。

　　基变更公式设 B与 B’是向量空间中的两组基，则将上式中的 detB改为 detB’就得到向量组在两组基下的行列式之间的关系：

　　矩阵的行列式

　　设 M n( K)为所有定义在 K上的矩阵的集合。将矩阵 A的元素为 A=(aij)。将矩阵 M的 n 行写成， aj可以看作是上的向量。于是可以定义 矩阵A的行列式为向量组的行列式，这里的向量都在的正交基上展开，因此矩阵的行列式不依赖于基的选择。

　　这样定义的矩阵 A的行列式与向量组的行列式有同样的性质。单位矩阵的行列式为1，若矩阵的两行线性相关，则行列式为零。

　　由莱布尼兹公式，可以证明矩阵行列式的一个重要性质：一个矩阵的行列式等于它的转置矩阵的行列式。

　　也就是说矩阵的行列式既可以看作 n 个行向量的行列式，也可以看作 n 个列向量的行列式。

　　证明：矩阵 A的转置矩阵的行列式是：

　　令 j= σ( i)，由于每个排列都是双射，所以上式变成：

　　令τ = σ ，当 σ 取遍所有排列时，τ 也取遍所有排列，而且 σ 的符号差等于 τ 的符号差。所以

　　线性映射的行列式设 f是 n维线性空间 E到自身的线性变换(线性自同态)， f在 E的任意一组基下的变换矩阵的行列式都是相等的。设 B是 E的一组基。那么 f的行列式就是 f在 B下的变换矩阵的行列式：

　　之前对正方体做变换时， x1, ..., xn是原来的基，，因此可以混淆向量组的行列式和线性变换的行列式。

　　考虑映射 d f, B使得 x1, ..., xn被映射到

　　d f, B是一个交替n线性形式，因此由前面证的定理， d f, B和 d e t B只相差一个系数。

　　令 x1, ..., xn等于 B，则得到

　　λ = d f, B( B) 所以有

　　也就是说

　　对于另外一组基 B'，运用基变更公式，可以得到 du, B(B)等于 du, B ' (B ' )。于是 d f, B( B) 是一个不依赖于基，只依赖于 f的数。这正是 det f的定义。

　　特别地，行列式为 1 的线性变换保持向量组的行列式，它们构成一般线性群 GL(E)的一个子群 SL(E)，称作特殊线性群。可以证明， SL(E)是由所有的错切生成的，即所有具有如下形式的矩阵代表的线性变换：

　　也就是说，错切变换保持向量组形成的“平行多面体”的体积。同样，可以证明两个相似矩阵有相等的行列式。

　　行列式基本介绍

　　行列式简介

　　行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。 [1]其定义域为nxn的矩阵 A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中(比如说换元积分法中)，行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。

　　特性

　　行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。

　　若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。行列式的值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和，既是一个实数：求每一个积时依次从每一行取一个元因子，而这每一个元因子又需取自不同的列，作为乘数，积的符号是正是负决定于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是奇数。也可以这样解释：行列式是矩阵的所有不同行且不同列的元素之积的代数和，和式中每一项的符号由积的各元素的行指标与列指标的逆序数之和决定：若逆序数之和为偶数，则该项为正;若逆序数之和为奇数，则该项为负。

　　逆序数

　　在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。逆序数为偶数的排列称为偶排列;逆序数为奇数的排列称为奇排列。如2431中，21，43，41，31是逆序，逆序数是4，为偶排列。

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