关于鸡蛋的数学趣味智力题与答案

时间：2017-08-17 16:13:04 粉燕710由分享

　　为了能帮助广大小学生朋友们提高数学成绩和数学思维能力，学习啦小编特地为大家找了一道关于鸡蛋的数学趣味智力题做了详细分析，希望能够切实的帮到大家。

　　关于鸡蛋的数学趣味智力题

　　一个少年用小车推着一篮鸡蛋去卖。在路上，一辆手扶拖拉机撞了小车一下，篮子掉在地上，所有的鸡蛋全打碎了。司机想赔给他钱，问他总共有多少鸡蛋。“我不知道。”少年说，“只记得我一对一对地移放时，最后剩一个。当我接三个、四个、五个、六个移放鸡蛋时，也都是剩一个。当我按七个移放时，就一个也不剩了。

　　请你算算，有多少鸡蛋?”

　　关于鸡蛋的数学趣味智力题解析

　　司机想，这是要求出一个数：它能被七整除，而用二、三、四、五、六来除时，都有余数一。能被二、三、四、五、六整除的最小的数，就是这些数的最小公倍数，是六十。也就是要求的这个数是：能被七整除，又比六十的倍数多一的数。这个数可以用逐次尝试法求得：60÷7=8，余4;

　　2×60÷7=17，余1;

　　3×60÷7=25，余5;

　　4×60÷7=34，余2;

　　5×60÷7=42，余6。

　　5×60+1÷7=43。

　　啊，少年的篮子里最少有5×60+1=301(个)。想一想，司机的算法为什么是对的。

　　两个少年在市场上卖大苹果，一个要两个卖五角，另一个要三个卖一元。他们的篮子里各有三十个苹果，第一个少年可以卖七元五角，第二个少年可以卖十元。为了表示友好和便于买卖，他们商定：把两个人的苹果合起来卖，不挑不选，一元五角五个。卖完后，他们惊奇地发现：卖了十八元，比原来能卖的钱多出五角。没差没错，怎么多出了五角?这钱应该归谁得呢?当两个少年在算账，想搞清楚这是怎么回事的时候，被另外两个卖苹果的少年听到了。他们觉得，两个人合起来卖，可以多赚钱，决定也照这个办法来卖。

　　这两个少年也各有三十个苹果，一个要两个卖一元，能卖十五元，另一个要三个卖一元，能卖十元，一共能卖二十五元。可是，接五个二元钱卖完后，他们也惊奇地发现：总共只卖二十四元，比两人分开卖少了一元。

　　用同样的办法，结果却是一个多卖了五角，一个少卖了一元，这真是奇怪了。实际上，当两个少年把苹果合在一起卖的时候，已经不是按照各自定的价格了。要是他们考虑到这一点，就不会感到惊奇了。好，现在以后两个少年的卖法为例，来看看他们是怎样少卖了一元钱的：

　　要是他们各自单独卖苹果，第一个少年要两个苹卖一元，就是一个苹果卖元;另一个少年是三个苹果卖一元，就是一个苹果卖元。当他们把苹果合在一起，并且按每五个苹果二元卖的时候，每一个苹果的价格就变成了元。这就是说，第一个少年的全部苹果不是按元一个卖的，而是按元卖的，每个苹果少了元(-=)，一共有三十个苹果，共少卖了三元钱。另一个少年的苹果也不是按元一个卖的，同样是按元一个卖的，每个苹果就多卖了元()，一共是三十个苹果，共多卖了二元。两相似消，当然比各自单独卖少了一元了。

　　现在，为什么前面两个少年多卖了五角，也就好明白了。

　　通过这种方法解答数学智力题，是不是很好理解呢?

　　关于鸡蛋的数学趣味智力题：数鸡蛋

　　一位老太太挎了一筐鸡蛋到市场去卖。路上被一名骑车的人撞倒，鸡蛋全部打破了。骑车人搀起老太太说:“你带了多少鸡蛋?我赔你。”老太太说:“总数我也不知道，当初我们从鸡窝里拣鸡蛋时是五个五个拣的，最后又多拣了一个;昨天我老头子查了一遍，他是四个一数的，最后也是多一个;今早我又数了一遍，是三个一数的，也是多一个。”骑车人在心里算了一下，按市场价赔了鸡蛋钱。老太太一共带了多少鸡蛋?

　　看答案

　　把这个问题转化成数学题就是:有一个数，无论用3、4、5去除，结果都余1，求这个数。换个说法:有一个数，减去1就能同时被3、4、5整除。显然，任何3、4、5的公倍数加1都是这个问题的解，最小的解是61，往下是121、181等等。问题中挎筐的是一位老太太，因此鸡蛋不可能很多，故可认为是61个。

　　关于鸡蛋的数学趣味智力题：扔鸡蛋

　　只给你二个鸡蛋，你能上100层楼，你想知道鸡蛋的硬度。鸡蛋可能很硬或很脆弱，如果鸡蛋从第m层掉下而没破裂，而从第m+1层掉下就破裂了，那么这个鸡蛋的硬度就是m。你需要找出这个m和在最坏情况下最少试验次数。(经典鸡蛋问题)

　　A: 计算机学生可能会首先用第一个鸡蛋做二分搜索(O(logN))再用第二个递增做线性搜索(O(N))，最后必将用线性搜索结束因为用第二个鸡蛋时你无法确定最高一层。因此，问题变为如何使用第一个鸡蛋来减少线性搜索。

　　于是如果第一个蛋破裂在最高点我们要扔x-1次并且我们必须从x层高扔第一个蛋。现在如果第一个蛋的第一次扔没有破裂，如果第一个蛋在第二次扔破了我们要扔x-2次第二个蛋。假如16是答案，我需要扔16次才能找到答案。来验证一下是否可以从16层开始扔，首先从16层扔如果它破裂了，我们尝试所有其下的楼层从1到15;如果没破我们还能扔15次，于是我们将从32层(16+15+1)再扔。原因是如果它在32层破裂我们能尝试其下所有楼层从17到31最坏扔第二个蛋14次(总共能扔16次了)。如果32层并没破，我们还剩下能扔13次，依此类推得:

　　1 + 15 16 如果它在16层破裂，从1到15层最坏扔15次第二个蛋

　　1 + 14 31 如果它在31层破裂，从17到30层最坏扔14次第二个蛋

　　1 + 13 45.....

　　1 + 12 58

　　1 + 11 70

　　1 + 10 81

　　1 + 9 91

　　1 + 8 100 在最后我们能轻易地做到因为我们有足够多扔的次数来完成任务

　　从上表我们能看到最佳的一个在最后一步将需要0次线性搜索。

　　能把上述规律写为: (1+p) + (1+(p-1))+ (1+(p-2)) + .........+ (1+0) >= 100.

　　令1+p=q上述式子变为q(q+1)/2>=100,对100解答得到q=14。

　　扔第一个蛋从层14，27，39，50，60，69，77，84，90，95，99，100直到它破裂，再开始扔第二个蛋。最坏情况只需14次。

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　　在只有一个鸡蛋时，保险起见，我们只能从一楼开始，一层一层地试验，看看鸡蛋有没有被摔烂。这样最精确，但是消耗的时间也最久。如果我们事先就知道这个鸡蛋不被摔碎的最高落下点在30层到75层之间，我们最多也只要尝试45次就能知道结果。现在我们手上有两个鸡蛋，根据上面的分析，一个合理的策略就是用第一个鸡蛋确定出一个较小的楼层范围，然后在这个范围里用第二个鸡蛋从下往上逐层尝试。

　　比如说让第一个鸡蛋每隔5层试验一次。当它在某一层被摔烂时，也就意味着确定了一个4层的待测试宽度(为什么是4层呢?假如鸡蛋在5楼的时候没破，10楼的时候破了，那么我们就只需要知道鸡蛋在 6 , 7 , 8 , 9 层的结果)。这时候，用第二颗鸡蛋一层一层地尝试，就能用较少的次数找出鸡蛋刚好摔不烂的高度。

　　需要注意的是，如果想留给第二颗鸡蛋较小的测试宽度，就要缩短第一个鸡蛋的测试跨度。相应的，也就增加了尝试次数。为了确定合适的跨度，使得总试验次数之和尽可能小，我们可以采取如下的办法。

　　设跨度是L，第一颗鸡蛋的尝试次数就是[ 100/L ]，第二颗鸡蛋的尝试次数就是 L - 1，因此尝试次数总和就是 [ 100/L ] + L - 1 。根据这个公式，我们可以列出下面这个表 :

　　可以看出，我们只需要选 8 - 13 之间的一个宽度，都能使得总尝试次数是19次。

　　但问题是，这已经是最优策略了吗，有没有更好的方法呢?

　　有的。上面的方法固定了第一颗鸡蛋的测试跨度，如果我们灵活变动，就能使得总尝试次数变得更少。首先，我们选择从14楼丢下第一颗鸡蛋。如果它破碎了，我们就从1楼开始，逐层丢第二颗鸡蛋，最多试14次便能得到答案。如果它没有破碎，那我们往上走 13 层，在 27 楼第二次丢下第一颗鸡蛋。此时如果鸡蛋碎了，那我们只需要在 15 层到 26 层之间用第二颗鸡蛋进行最多12次试验即可，加上第一颗鸡蛋的两次尝试，仍然是14次。类的，依次减小测试跨度，如果鸡蛋足够顽强，那我们丢下第一颗鸡蛋的楼层就分别是 14 ， 27 ， 39 ， 50 ， 60 ， 69 ， 77 ，84 ， 90 ， 95 ， 99 以及最后的100层。因为第一颗鸡蛋每多尝试一次，第二颗鸡蛋需要尝试的最大次数就减少一次，因此，总尝试次数的最大可能一直是不变的，保持在14次。用这种方法，我们只需要不超过14次的尝试就能够找出答案。有没有更优的策略了?感兴趣的读者可以自行思考。