《什么是数学》

　　《什么是数学》_读书笔记

　　001.它(本书)的目标之一是反击这样的思想：“数学不是别的东西，而是从定义和公理推导出来的一组结论，而这些定义和命题除了必须不矛盾外，可以由数学家根据他们的意志随意创造。”

　　002.数学联结了心灵感知的抽象世界和完全没有生命的真实的物质世界。

　　003.“非现实的现实性”

　　004.正规的数学就像拼写和语法一样，是一种对约定规则的正确应用，有意义的数学就像用来讲述有趣故事的报刊杂志;但不像某些报刊杂志，它的故事必须是真实的。最好的数学就应该像文学作品——故事来源于你眼前活生生的生活，致使你把精力和感情投入其中。

　　005.数学教学有时竟演变成空洞的解题训练。这种训练虽然可以提高形式推导的能力，但却不能导致真正的理解与深入的独立思考。

　　006.数学是一个有机的整体，是科学思考和行动的基础。

　　007.介绍数学不必过分注重通常例行的做法，也不应采取生硬的教条主义的态度，因为教条主义会掩盖动机和目的，妨碍人们作实事求是的努力。

　　008.数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及对完美境界的追求。它的基本要素是：逻辑和直观、分析和构作、一般性和个别性。

　　009.毫无疑问，一切数学的发展在心理上都或多或少地是基于实际的。但理论一旦在实际的需要中出现，就不可避免地会使自身获得发展的动力，并超出直接实用的局限。

　　010.希腊数学的理论化和公理化的倾向一直是它的一个重要特点，并且曾经产生过巨大的影响。但是，对这一点我们不能过分强调，因为在古代数学中，应用以及同物理现实的联系恰恰起了同样重要的作用。

　　011.事实上，那种创造发明的要素，那种起指导和推动作用的直观要素，虽然常常不能用简单的哲学公式来表达，但是它们却是任何数学成就的核心，即使在最抽象的领域里也是如此。如果说完善的演绎形式是目标，那么直观和构作至少也是一种动力。

　　012.只有在以达到有机整体为目标的前提下，以及在内在需求的指引下，自由的思维才能作出有科学价值的成果来。

　　013.对于科学方法而言，重要的是应放弃带有行而上学性质的因素，而去考虑那些可观测的事实，把它们作为概念和构作的最终根源。

　　014.基本的数学概念必须抽象化。

　　015.唯一能回答“什么是数学”这一问题的，不是哲学而是数学本身中的活生生的经验。